【矩阵论】Chapter 5—lambda矩阵与Jordan 标准型

文章目录

- [1 λ \lambda λ矩阵关键概念](#1 λ \lambda λ矩阵关键概念)
- [2 矩阵相似的条件](#2 矩阵相似的条件)
- [3 矩阵的Jordan标准型](#3 矩阵的Jordan标准型)
- [4 Cayley-Hamilton 定理与最小多项式](#4 Cayley-Hamilton 定理与最小多项式)

1 λ \lambda λ矩阵关键概念

λ \lambda λ矩阵定义

设 a i j ( λ ) ( 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n ) a_{ij}(\lambda)(1\leq i \leq m,1\leq j \leq n) aij(λ)(1≤i≤m,1≤j≤n)是数域 P P P上的多项式，以 a i j ( λ ) a_{ij}(\lambda) aij(λ)为元素的 m × n m\times n m×n矩阵
( a 11 ( λ ) a 12 ( λ ) . . . a 1 n ( λ ) a 21 ( λ ) a 22 ( λ ) . . . a 2 n ( λ ) ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ( λ ) a n 2 ( λ ) . . . a n n ( λ ) ) \begin{pmatrix} a_{11}(\lambda) & a_{12}(\lambda) & ... & a_{1n}(\lambda) \\ a_{21}(\lambda) & a_{22}(\lambda) & ... & a_{2n}(\lambda) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1}(\lambda) & a_{n2}(\lambda) & ... & a_{nn}(\lambda) \end{pmatrix} a11(λ)a21(λ)⋮an1(λ)a12(λ)a22(λ)⋮an2(λ).........a1n(λ)a2n(λ)⋮ann(λ)

成为多项式矩阵或 λ \lambda λ矩阵，多项式 a i j ( λ ) ( 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n ) a_{ij}(\lambda)(1\leq i \leq m,1\leq j \leq n) aij(λ)(1≤i≤m,1≤j≤n)中的最高次数成为 A ( λ ) A(\lambda) A(λ)的次数，则数字矩阵显然是 λ \lambda λ矩阵，为 0 0 0次；数字矩阵 A A A的特征矩阵 λ I − A \lambda I-A λI−A就是 1 1 1次 λ \lambda λ矩阵。

设 A ( λ ) A(\lambda) A(λ)矩阵的次数为 k k k，则 A ( λ ) A(\lambda) A(λ)可表示为
A ( λ ) = A k λ k + A k − 1 λ k − 1 + ⋯ + A 1 λ 1 + A 0 A(\lambda)=A_k\lambda^k+A_{k-1}\lambda^{k-1}+\dots +A_1\lambda^1+A_0 A(λ)=Akλk+Ak−1λk−1+⋯+A1λ1+A0

其中 A i ( 0 ≤ i ≤ k ) A_i(0\leq i \leq k) Ai(0≤i≤k)是数字矩阵，并且 A k ≠ 0 A_k\neq 0 Ak=0。
λ \lambda λ矩阵性质
1. λ \lambda λ矩阵也可以进行初等变换
2. 若 A ( λ ) A(\lambda) A(λ)可以经过有限次初等变换化为 B ( λ ) B(\lambda) B(λ)，则称 λ \lambda λ矩阵 A ( λ ) A(\lambda) A(λ)和 B ( λ ) B(\lambda) B(λ)相抵，记为 A ( λ ) ≅ B ( λ ) A(\lambda)\cong B(\lambda) A(λ)≅B(λ)
λ \lambda λ矩阵定理

设 A ( λ ) = ( a i j ( λ ) ) ∈ P [ λ ] m × n A(\lambda)=(a_{ij}(\lambda))\in P[\lambda]^{m\times n} A(λ)=(aij(λ))∈P[λ]m×n，且 r a n k ( A ( λ ) ) = r rank(A(\lambda))=r rank(A(λ))=r，则 A ( λ ) A(\lambda) A(λ)相似于如下的对角矩阵
( d 1 ( λ ) d 2 ( λ ) ⋱ d r ( λ ) 0 ⋱ 0 ) m × n \begin{pmatrix} d_1({\lambda }) & & & & & & \\ & d_2({\lambda }) & & & & & \\ & & \ddots & & & & \\ & & & d_r({\lambda }) & & & \\ & & & & 0 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 0 \end{pmatrix}_{m\times n} d1(λ)d2(λ)⋱dr(λ)0⋱0 m×n

其中 d i ( λ ) ( 1 ≤ i ≤ r ) d_i(\lambda)(1\leq i \leq r) di(λ)(1≤i≤r)是首项系数为 1 1 1的多项式，并且 d i ( λ ) ∣ d i + 1 ( λ ) ( 1 ≤ i ≤ r − 1 ) d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda)(1\leq i \leq r-1) di(λ)∣di+1(λ)(1≤i≤r−1)
S m i t h Smith Smith标准型

λ \lambda λ矩阵定理中的对角矩阵就称为 $\\lambda 矩阵矩阵矩阵A(\\lambda) 在相抵下的标准型或者在相抵下的标准型或者在相抵下的标准型或者Smith$ 标准型。

S m i t h Smith Smith标准型是唯一的
不变因子、行列式因子、初等因子

重要性质：相抵的 λ \lambda λ矩阵具有相同的秩、相同的各阶行列式因子、相同的不变因子

S m i t h Smith Smith标准型"主对角线"上非零元 d 1 ( λ ) , d 2 ( λ ) , ... , d r ( λ ) d_1(\lambda),d_2(\lambda),\dots,d_r(\lambda) d1(λ),d2(λ),...,dr(λ)称为 A ( λ ) A(\lambda) A(λ)的不变因子；

A ( λ ) A(\lambda) A(λ)的全部 k k k阶子式的最大公因式称为 A ( λ ) A(\lambda) A(λ)的== k k k阶行列式因子==，记为 D k ( λ ) D_k(\lambda) Dk(λ)；

其中 d k ( λ ) = D k + 1 ( λ ) D k ( λ ) d_k(\lambda)=\frac{D_{k+1}(\lambda)}{D_k(\lambda)} dk(λ)=Dk(λ)Dk+1(λ)

初等因子是从不变因子分解得来的，具体如下：

假设不变因子为
d 1 ( λ ) = ( λ − λ 1 ) e 11 ( λ − λ 2 ) e 12 ⋯ ( λ − λ k ) e 1 k d 2 ( λ ) = ( λ − λ 1 ) e 21 ( λ − λ 2 ) e 22 ⋯ ( λ − λ k ) e 2 k ... ... d r ( λ ) = ( λ − λ 1 ) e r 1 ( λ − λ 2 ) e r 2 ⋯ ( λ − λ k ) e r k d_ {1} ( \lambda )= (\lambda -\lambda _ {1})^ {e_ {11}} (\lambda -\lambda _ {2})^ {e_ {12}} \cdots (\lambda -\lambda _ {k})^ {e_ {1k}} \\ d_ {2} ( \lambda )= (\lambda -\lambda _ {1})^ {e_ {21}} (\lambda -\lambda _ {2})^ {e_ {22}} \cdots (\lambda -\lambda _ {k})^ {e_ {2k}}\\ \dots\dots \\ d_ {r} ( \lambda )= (\lambda -\lambda _ {1})^ {e_ {r1}} (\lambda -\lambda _ {2})^ {e_ {r2}} \cdots (\lambda -\lambda _ {k})^ {e_ {rk}} \\ d1(λ)=(λ−λ1)e11(λ−λ2)e12⋯(λ−λk)e1kd2(λ)=(λ−λ1)e21(λ−λ2)e22⋯(λ−λk)e2k......dr(λ)=(λ−λ1)er1(λ−λ2)er2⋯(λ−λk)erk

则所有指数大于 0 0 0的因子 ( λ − λ j ) e i j ( 1 ≤ i ≤ r , 1 ≤ j ≤ k ) (\lambda -\lambda _ {j})^ {e_ {ij}}(1\leq i \leq r,1\leq j\leq k) (λ−λj)eij(1≤i≤r,1≤j≤k)称为 λ \lambda λ矩阵 A ( λ ) A(\lambda) A(λ)的初等因子

2 矩阵相似的条件

定义

设 A A A为 n n n阶数字矩阵，其特征矩阵 λ I − A \lambda I-A λI−A的行列式因子，不变因子和初等因子分别称为矩阵 A A A的行列式因子，不变因子和初等因子。
相似的充分必要条件

n n n阶矩阵 A A A和 B B B相似 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺存在一个可逆矩阵 P P P，使得 B = P − 1 A P B = P^{-1} A P B=P−1AP ⟺ \Longleftrightarrow ⟺它们的特征矩阵 λ I − A \lambda I-A λI−A和 λ I − B \lambda I-B λI−B相抵 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺它们具有相同的行列式因子或者它们有相同的不变因子 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺它们具有相同的初等因子

3 矩阵的Jordan标准型

Jordan块和Jordan标准型

Jordan块分上Jordan块和下Jordan块，我们一般用上Jordan块。

如果 ( λ − a ) d (\lambda -a)^d (λ−a)d是 A A A的初等因子，我们则可以构建一个 d × d d\times d d×d的矩阵形式
J d ( a ) = ( a 1 . . . 0 0 0 a 1 . . . 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 a 1 0 0 0 0 a ) J_d(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & ... & 0 & 0 \\ 0 & a & 1 & ... & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0& 0 & 0& a &1 \\ 0 & 0& 0 & 0 & a \end{pmatrix} Jd(a)= a0⋮001a⋮00...1⋱000...⋮a000⋮1a

这个矩阵我们称为上Jordan块。下Jordan块则为
J d ( a ) = ( a 0 . . . 0 0 1 a 0 . . . 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 1 a 0 0 0 0 1 a ) J_d(a)=\begin{pmatrix} a & 0 & ... & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 & ... & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0& 0 & 1& a &0 \\ 0 & 0& 0 & 1 & a \end{pmatrix} Jd(a)= a1⋮000a⋮00...0⋱100...⋮a100⋮0a

那由若干个Jordan块为对角块组成的块对角矩阵称为Jordan标准型
性质
1. Jordan块被它的初等因子唯一确定
2. Jordan标准型的全部初等因子由它的全部Jordan块的初等因子组成
3. 每个 n n n阶矩阵都相似于它的Jordan标准型
4. Jordan标准型不唯一，其内部Jordan块的顺序可以随意，但每个Jordan块唯一，如果除去其中Jordan块排列的次序外是被矩阵 A A A唯一确定的
求 n n n阶方阵 A A A的Jordan标准型
1. 得到 ( λ I − A ) (\lambda I-A) (λI−A)矩阵，求它的各阶行列式因子 D k ( λ ) D_k(\lambda) Dk(λ)
2. 根据公式 d 1 ( λ ) = D 1 ( λ ) d_1(\lambda)=D_1(\lambda) d1(λ)=D1(λ)， d k ( λ ) = D k + 1 ( λ ) D k ( λ ) ( 2 ≤ k ≤ n ) d_k(\lambda)=\frac{D_{k+1}(\lambda)}{D_k(\lambda)}(2\leq k\leq n) dk(λ)=Dk(λ)Dk+1(λ)(2≤k≤n)得到不变因子
3. 从不变因子分解得到初等因子
4. 根据初等因子构成Jordan块 J i J_i Ji，再组成Jordan标准型 J J J
求可逆矩阵 P P P，使得 P − 1 A P = J P^{-1}AP=J P−1AP=J
1. 根据上一个方法求出矩阵 A A A的Jordan标准型 J J J
2. 左右两边左乘 P − 1 P^{-1} P−1变换公式得到 A P = P J AP=PJ AP=PJ
3. 设 P = ( P 1 , . . , P n ) P=(P_1,..,P_n) P=(P1,..,Pn)，根据公式构造
  { A P 1 = J 11 P 1 A P 2 = J 12 P 1 + J 22 P 2 ... A P n = J ( n − 1 , n ) P n − 1 + J n n P n \left\{ \begin{array}{llcl} AP_1=J_{11}P_1\\ AP_2=J_{12}P_1+J_{22}P_2\\ \dots\\ AP_n=J_{(n-1,n)}P_{n-1}+J_{nn}P_n \end{array} \right. ⎩ ⎨ ⎧AP1=J11P1AP2=J12P1+J22P2...APn=J(n−1,n)Pn−1+JnnPn
  
  其中 J ( i , i + 1 ) J_{(i,i+1)} J(i,i+1)的取值只能为 0 o r 1 0\space or\space 1 0 or 1， J i i J_{ii} Jii的取值即为对角线元素。根据方程从而解得 P P P。
注意： P P P不唯一，但是我们在设 P P P元素的时候一定要保证 P P P可逆，即 r a n k ( P ) = n rank(P)=n rank(P)=n。可以自己进行初等变换验证一下是否正确！

Python求解 J J J和可逆矩阵 P P P

py 复制代码

import numpy as np
from sympy import Matrix
import pprint

A = np.array([[2, 2, 1], [-2, 6, 1], [0, 0, 4]])
A = Matrix(A)
P, J = A.jordan_form()
# 验证P^-1 * A * P = J
assert P ** -1 * A * P == J, "P^-1 * A * P != J"
pprint.pprint("P:", P)
pprint.pprint("J:", J)

4 Cayley-Hamilton 定理与最小多项式

Cayley-Hamilton 定理

设 A A A是 n n n阶矩阵， f ( λ ) f(\lambda) f(λ)是 A A A的特征多项式，则 f ( A ) = 0 f(A)=0 f(A)=0
相关定义

设 A A A为 n n n阶矩阵，如果存在多项式 φ ( λ ) \varphi(\lambda) φ(λ)使得 φ ( A ) = 0 \varphi(A)=0 φ(A)=0，则称 φ ( λ ) \varphi(\lambda) φ(λ)为 A A A的化零多项式。易知 f ( λ ) f(\lambda) f(λ)为 A A A的化零多项式，且 g ( λ ) f ( λ ) g(\lambda)f(\lambda) g(λ)f(λ)也为 A A A的化零多项式，故 A A A的化零多项式有无穷多个

A A A的所有化零多项式中，次数最低，且首项系数为 1 1 1的多项式称为 A A A的最小多项式。 A A A的最小多项式是唯一的
结论

A A A的最小多项式就是 d n ( λ ) d_n(\lambda) dn(λ)，即 A A A的第 n n n个不变因子