【矩阵论】Chapter 4—特征值和特征向量知识点总结复习

文章目录

• • [1 特征值和特征向量](#1 特征值和特征向量)
  • [2 对角化](#2 对角化)
  • [3 Schur定理和正规矩阵](#3 Schur定理和正规矩阵)
  • [4 Python求解](#4 Python求解)

1 特征值和特征向量

• 定义

  设 σ \sigma σ为数域 F F F上线性空间 V V V上的一个线性变换，一个非零向量 v ∈ V v\in V v∈V，如果存在一个 λ ∈ F \lambda \in F λ∈F使得 σ ( v ) = λ v \sigma(v)=\lambda v σ(v)=λv，则 λ \lambda λ称为 σ \sigma σ的特征值。 σ \sigma σ的特征值的集合称为 σ \sigma σ的谱。并称 v v v为 σ \sigma σ的属于（或对应于）特征值 λ \lambda λ的特征向量。

• 特征值和特征向量的求法

  设 V V V是数域 F F F上的 n n n维线性空间， v 1 , ⋯   , v n v_1,\cdots,v_n v1,⋯,vn是 V V V的一组基，线性变换 σ \sigma σ在这组基下的矩阵为 A A A，如果 λ \lambda λ是 σ \sigma σ的特征值， α \alpha α是相应的特征向量。则
  α = ( v 1 , ⋯   , v n ) ( x 1 ⋮ x n ) \alpha=(v_1,\cdots,v_n)\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} α=(v1,⋯,vn) x1⋮xn

  将上式代入 σ ( v ) = λ v \sigma(v)=\lambda v σ(v)=λv得到
  σ ( α ) = ( v 1 , ⋯   , v n ) A ( x 1 ⋮ x n ) λ α = λ ( v 1 , ⋯   , v n ) ( x 1 ⋮ x n ) \sigma(\alpha)=(v_1,\cdots,v_n)A\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\\ \lambda \alpha=\lambda (v_1,\cdots,v_n)\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\\ σ(α)=(v1,⋯,vn)A x1⋮xn λα=λ(v1,⋯,vn) x1⋮xn

  由于 v 1 , ⋯   , v n v_1,\cdots,v_n v1,⋯,vn线性无关，所以
  A ( x 1 ⋮ x n ) = λ ( x 1 ⋮ x n ) A\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=\lambda \begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} A x1⋮xn =λ x1⋮xn

  则说明特征向量 α \alpha α的坐标 x = ( x 1 ⋮ x n ) x=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} x= x1⋮xn 满足齐次线性方程组 ( λ I − A ) x = 0 (\lambda I-A)x=0 (λI−A)x=0。

  因为 α ≠ 0 \alpha\neq 0 α=0，则 x ≠ 0 x\neq 0 x=0，即齐次线性方程组 ( λ I − A ) x = 0 (\lambda I-A)x=0 (λI−A)x=0有非零解。有非零解的充要条件是它的系数矩阵它的系数矩阵行列式 ∣ λ I − A ∣ = 0 |\lambda I-A|=0 ∣λI−A∣=0。

• 相关定义

  设 A A A是数域 F F F上的 n n n阶矩阵， λ \lambda λ是一个符号，也是未知的特征值 ，矩阵 λ I − A \lambda I-A λI−A称为 A A A的特征矩阵 ，其行列式 ∣ λ I − A ∣ |\lambda I-A| ∣λI−A∣称为 A A A的特征多项式 。方程 ∣ λ I − A ∣ = 0 |\lambda I-A|=0 ∣λI−A∣=0称为 A A A的特征方程，它的根（即 λ \lambda λ的值）称为 A A A的特征根（或特征值）。以 A A A的特征值 λ \lambda λ代入 A x = λ x Ax=\lambda x Ax=λx中所得到的非零解 x x x称为 A A A对应于 λ \lambda λ的特征向量。

• 定理

  设 A A A为 n × n n\times n n×n矩阵， λ \lambda λ是一个数值，以下命题等价：

  1. λ \lambda λ是 A A A的特征值
  2. ( λ I − A ) x = 0 (\lambda I-A)x=0 (λI−A)x=0有一个非平凡的解（即有非零向量的解）
  3. N ( λ I − A ) ≠ { 0 } N(\lambda I-A)\neq\{0\} N(λI−A)={0}
  4. λ I − A \lambda I-A λI−A矩阵是奇异矩阵
  5. det ⁡ ( λ I − A ) = 0 \det(\lambda I-A)=0 det(λI−A)=0

• 特征多项式的系数

  如果
  p ( λ ) = det ⁡ ( λ I − A ) = λ n + ∑ k = 1 n ( − 1 ) k c k λ n − k = λ n − c 1 λ n − 1 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 c n − 1 λ + ( − 1 ) n c n p(\lambda)=\det(\lambda I-A)=\lambda^n+\sum_{\\k=1}^n(-1)^kc_k\lambda^{n-k}\\=\lambda ^n-c_1\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^{n-1}c_{n-1}\lambda+(-1)^nc_n p(λ)=det(λI−A)=λn+k=1∑n(−1)kckλn−k=λn−c1λn−1+⋯+(−1)n−1cn−1λ+(−1)ncn

  则 c k ( 1 ≤ k ≤ n ) c_k(1\leq k\leq n) ck(1≤k≤n)是所有 k k k阶主子式（选择 k k k行 k k k列形成的行列式）的和，特别的， c 1 = t r ( A ) , c n = det ⁡ ( A ) c_1=tr(A),c_n=\det(A) c1=tr(A),cn=det(A)。

• 定理

  1. 设 A ∈ C n × n A\in C^{n\times n} A∈Cn×n，如果 A A A有特征值 λ 1 , ⋯   , λ n \lambda_1,\cdots,\lambda_n λ1,⋯,λn，则
     t r ( A ) = ∑ i = 1 n λ i , det ⁡ ( A ) = ∏ i = 1 n λ i tr(A)=\sum_{\\i=1}^n\lambda_i,\det(A)=\prod_{i=1}^n\lambda_i tr(A)=i=1∑nλi,det(A)=i=1∏nλi

  2. 如果 A A A相似 B B B，则两个矩阵有相同的特征值和特征多项式。

  3. 设 A ∈ C m × n A\in C^{m\times n} A∈Cm×n，则 A H A A^HA AHA和 A A H AA^H AAH特征值都是非负实数，且它们都有相同的非零特征值和相同的重数，并且非零特征值（包含重数）的数量等于 r a n k ( A ) rank(A) rank(A)。

2 对角化

• 定义

  设矩阵 A ∈ F n × n A\in F^{n\times n} A∈Fn×n，如果存在一个非奇异矩阵 P ∈ F n × n P\in F^{n\times n} P∈Fn×n和一个对角矩阵 D ∈ F n × n D\in F^{n\times n} D∈Fn×n，使得 P − 1 A P = D P^{-1}AP=D P−1AP=D，则称 A A A可被对角化。

• 定理

  1. A A A可以被对角化当且仅当 A A A有 n n n个线性无关的特征向量
  2. λ 1 , ⋯   , λ k \lambda_1,\cdots,\lambda_k λ1,⋯,λk是 A A A的不同的特征值，则对应的特征向量 x 1 , ⋯   , x k x_1,\cdots,x_k x1,⋯,xk它们是线性无关的
  3. 由以上两条定理即可推出如果 A A A有 n n n个不同的特征值，则 A A A可被对角化
  4. 不同特征值对应的特征向量的集合的并集是线性无关的。即取每个特征值的所有特征向量，无论这些向量属于哪个特征值，它们的并集都是线性无关的。

• 代数重数

  设 A ∈ F n × n A\in F^{n\times n} A∈Fn×n，如果 det ⁡ ( λ I − A ) = ( λ − λ i ) r 1 ⋯ ( λ − λ k ) r k \det(\lambda I-A)=(\lambda -\lambda_i)^{r_1}\cdots(\lambda-\lambda_k)^{r_k} det(λI−A)=(λ−λi)r1⋯(λ−λk)rk，其中 λ 1 , ⋯   , λ k \lambda_1,\cdots,\lambda_k λ1,⋯,λk是 A A A的特征值，它们是不同的。则特征值 λ i \lambda_i λi的代数重数是 r i r_i ri，即特征值 λ i \lambda_i λi出现的次数。

• 几何重数

  与特征值 λ i \lambda_i λi对应的特征子空间是 N ( λ i I − A ) N(\lambda_i I-A) N(λiI−A)，则特征值 λ i \lambda_i λi的几何重数为 dim ⁡ ( N ( λ i I − A ) ) \dim(N(\lambda_i I-A)) dim(N(λiI−A))。

  几何重数\\leq 代数重数

• 几何重数看可对角化

  矩阵 A ∈ F n × n A\in F^{n\times n} A∈Fn×n可对角化当且仅当 A A A中不同特征值的几何重数和等于 n n n（即每个特征值的代数重数都要等于几何重数）

3 Schur定理和正规矩阵

• 酉（正交）相似定义

  设 A ∈ C n × n ( R n × n ) A\in C^{n\times n}(R^{n\times n}) A∈Cn×n(Rn×n)，如果存在一个酉（正交）矩阵 U U U使得 U H A U = B ( U H = U − 1 ) U^HAU=B\space\space\space(U^H=U^{-1}) UHAU=B (UH=U−1)，则可称 A A A酉（正交）相似 B B B

• Schur定理

  ∀ A ∈ C n × n \forall A\in C^{n\times n} ∀A∈Cn×n， A A A都与上三角矩阵相似，且存在酉矩阵 U U U和上三角矩阵 T T T使得 U H A U = U − 1 A U = T U^HAU=U^{-1}AU=T UHAU=U−1AU=T。

  仅适用于复数域，实数域上不一定适用

• 正规矩阵定义

  设 A ∈ C n × n A\in C^{n\times n} A∈Cn×n，如果 A A A满足 A H A = A A H A^HA=AA^H AHA=AAH，则称 A A A是正规矩阵。

  Hermite矩阵，酉（正交）矩阵都是正规矩阵

• 谱定理

  设 A ∈ C n × n A\in C^{n\times n} A∈Cn×n，如果 A A A是Hermite矩阵，则 A A A酉相似于一个实对角矩阵，换句话说，Hermite矩阵的特征值都是实数。

• 引理

  设 A ∈ C n × n A\in C^{n\times n} A∈Cn×n， A A A是正规矩阵当且仅当 ∀ λ , x \forall \lambda,x ∀λ,x使得 ∣ ∣ A x − λ x ∣ ∣ = ∣ ∣ A H x − λ ˉ x ∣ ∣ ||Ax-\lambda x||=||A^Hx-\bar{\lambda}x|| ∣∣Ax−λx∣∣=∣∣AHx−λˉx∣∣。

• 同时对角化

  设 A , B A,B A,B都是相同阶数的正规矩阵，则存在一个酉矩阵可以同时酉对角化 A , B A,B A,B当且仅当 A B = B A AB=BA AB=BA

4 Python求解

import numpy as np
from sympy import symbols, Matrix
import pprint


# 定义符号变量
lambda_ = symbols('lambda')

A = np.array([[0, 2, 1], [-2, 0, 3], [-1, -3, 0]])
A = Matrix(A)

# 求特征矩阵
characteristic_matrix = A - lambda_ * np.eye(3)
pprint.pprint("关于 lambda 的特征矩阵:")
pprint.pprint(characteristic_matrix)

# 计算特征多项式
characteristic_polynomial = A.charpoly(lambda_)
pprint.pprint("关于 lambda 的特征多项式:")
pprint.pprint(characteristic_polynomial)

# 求特征值
eigenvalues = A.eigenvals()
# 打印特征值、其代数重数、特征向量和几何重数

for k, v in eigenvalues.items():
    pprint.pprint("特征值 %s 的代数重数为 %s" % (k, v))
    pprint.pprint("特征值 %s 的几何重数为 %s" % (k, A.eigenvects()[list(eigenvalues.keys()).index(k)][1]))
    pprint.pprint("特征值 %s 的特征向量为 %s" % (k, A.eigenvects()[list(eigenvalues.keys()).index(k)][2]))
    
# 判断A是否可对角化，如果可以，打印出对角化矩阵
if A.is_diagonalizable():
    pprint.pprint("A可对角化")
    pprint.pprint("对角化矩阵为:")
    pprint.pprint(A.diagonalize()[0])

# 求A的行空间、列空间、零空间
pprint.pprint("A的行空间为:")
pprint.pprint(A.rowspace())
pprint.pprint("A的列空间为:")
pprint.pprint(A.columnspace())
pprint.pprint("A的零空间为:")
pprint.pprint(A.nullspace())