1. 蒙特霍尔问题
有一个美国电视游戏节目叫做"Let's Make a Deal"，游戏中参赛者将面对3扇关闭的门，其中一扇门背后有一辆汽车，另外两扇门后是山羊，参赛者如果能猜中哪一扇门后是汽车，就可以得到它。
通常，当参赛者选定了一扇门时，节目的主持人蒙特霍尔（Monty Hall）会打开剩余两扇门中的一扇（主持人知道门后是什么），让你看到门后的山羊，此时会询问参赛者是否换门，大部分参赛者认为这时关闭的两扇门中奖的概率是一样的，即都是1/2，通常他们不会改变他们第一次的选择。您是否觉得两个问题几乎一样呢？
网上说法很多，我们以标准版：主持人事先知道答案，会打开一扇你没选择的门，且其背后一定是羊为条件，其他情况不在此过多的扩展。如下图所示剩下两个门供你选择。
| 序号 | 参赛者初选 | 再选择换门 | 结果 |
|---|---|---|---|
| 1 | 有车门 | 有羊门 | 失败 |
| 2 | 有羊门A | 有车门 | 获胜 |
| 3 | 有羊门B | 有车门 | 获胜 |
参赛者最初选择时有1/3的相同概率选择汽车、羊A和羊B，再选择转换后的获胜概率为2/3。
2. 数学解释
蒙特霍尔问题的数学证明可以通过贝叶斯定理来完成。我们可以先了解一些定义。
2.1. 贝叶斯定理
2.1.1. 独立事件概率
我们设定事件 A A A的概率为 P ( A ) P(A) P(A)，事件 B B B的概率是 P ( B ) P(B) P(B)，且事件 A A A和事件 B B B是相互独立的。
则事件 A A A和事件 B B B同时发生的概率，满足如下公式：
P ( A B ) = P ( B A ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(BA)=P(A)P(B) P(AB)=P(BA)=P(A)P(B)
2.1.2. 条件概率
条件概率是在某种条件下，某个事件发生的概率，展示了事件之间的内在联系和影响。
我们来看两种条件概率的简单表述。
1.事件 A A A发生之后，事件 B B B发生的概率，可以记做 P ( B ∣ A ) P(B|A) P(B∣A)，此时满足公式：
P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} P(B∣A)=P(A)P(AB)，即 A A A 和 B B B 同时发生的概率除以 A A A 发生的概率。
等价于 P ( A B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) P(AB)=P(B|A)P(A) P(AB)=P(B∣A)P(A)
2.事件 B B B发生之后，事件 A A A发生的概率，可以记做 P ( A ∣ B ) P(A|B) P(A∣B)，此时满足公式：
P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(AB)
等价于 P ( A B ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) P(AB)=P(A|B)P(B) P(AB)=P(A∣B)P(B)
3.综合这两种条件事件，可以得到公式：
P ( A B ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) P(AB)=P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A) P(AB)=P(A∣B)P(B)=P(B∣A)P(A)
2.1.3. 贝叶斯公式
我们综合计算得到一个公式：
P ( A ∣ B ) P ( B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A) P(A∣B)P(B)=P(B∣A)P(A)
这个公式做一个变形可以得到贝叶斯公式：
P ( A ∣ B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) P ( B ) P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(B∣A)P(A)
2.1.4. 先验概率和后验概率
在贝叶斯公式中，还隐含着一些术语：
- P ( A ) P(A) P(A)是 A A A的先验概率或边缘概率，它不考虑任何 B B B方面的因素。
- P ( A ∣ B ) P(A|B) P(A∣B)是 B B B发生后 A A A的条件概率，由于得自 B B B的取值被称作 A A A的后验概率。
2.2. 贝叶斯定理解释蒙特霍尔问题
前面我们提到了，关键条件在于主持人选择B门后是无车的，这个事件对于已作出选择的参赛者来说是否有影响呢？后验概率是否产生了影响，我们来推导一下：
- 设定A、B、C门后有汽车分别记为事件 A A A、 B B B、 C C C，
则 P ( A ) = P ( B ) = P ( C ) = 1 3 P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3} P(A)=P(B)=P(C)=31。 - 设定参赛者选择了A门，由于主持人默认需要选择没有汽车的门，因此参赛者的选择影响了主持人的选择。
- 设定主持人选择了B门且没有汽车，记为事件 D D D，
则 P ( D ∣ A ) = 1 2 P(D|A)=\frac{1}{2} P(D∣A)=21（因为如果选手最初选择了A门，主持人可以选择打开B或C，而汽车在B或C的概率相等）
P ( D ∣ B ) = 0 P(D|B)=0 P(D∣B)=0（因为主持人不会打开选择的门）
P ( D ∣ C ) = 1 P(D|C)=1 P(D∣C)=1（因为如果选手最初选择了C门，主持人只能选择打开B门）。 - 在主持人选择B门无汽车后，参赛者选择A门有车的概率为 P ( A ∣ D ) P(A|D) P(A∣D)，即事件 D D D发生后事件 A A A的概率，由贝叶斯公式得：
P ( A ∣ D ) = P ( D ∣ A ) P ( A ) P ( D ) P(A|D)=\frac{P(D|A)P(A)}{P(D)} P(A∣D)=P(D)P(D∣A)P(A) - 通过前面的分析，我们只需要求 P ( D ∣ A ) P(D|A) P(D∣A)、 P ( A ) P(A) P(A)、 P ( D ) P(D) P(D)三个元素即可。
- P ( D ∣ A ) P(D|A) P(D∣A)表示A门有汽车的情况下，主持人选择B门的概率，其为 1 2 \frac{1}{2} 21;
- P ( A ) P(A) P(A)表示A门有汽车的概率，其为 1 3 \frac{1}{3} 31;
- P ( D ) P(D) P(D)可以从全概率公式求得，其为 1 2 \frac{1}{2} 21：
P ( D ) = P ( D ∣ A ) P ( A ) + P ( D ∣ B ) P ( B ) + P ( D ∣ C ) P ( C ) P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C) P(D)=P(D∣A)P(A)+P(D∣B)P(B)+P(D∣C)P(C)
P ( D ) = 1 2 × 1 3 + 0 × 1 3 + 1 × 1 3 = 1 2 P(D)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}+0\times\frac{1}{3}+1\times\frac{1}{3}=\frac{1}{2} P(D)=21×31+0×31+1×31=21
- 综上得到：
P ( A ∣ D ) = P ( D ∣ A ) P ( A ) P ( D ) = 1 2 × 1 3 2 = 1 3 P(A|D)=\frac{P(D|A)P(A)}{P(D)}=\frac{\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}}{2}=\frac{1}{3} P(A∣D)=P(D)P(D∣A)P(A)=221×31=31
在主持人选择B门开启后无汽车的情况下，参赛者选A门有汽车的概率 P ( A ∣ D ) = 1 3 P(A|D)=\frac{1}{3} P(A∣D)=31，因此后验概率并没有发生变化，并不是直观的 1 2 \frac{1}{2} 21，而仍然是 1 3 \frac{1}{3} 31。
因此，如果做调换门，那么相当于参赛者选择了C门，计算过程类似，概率为 2 3 \frac{2}{3} 32：
P ( C ∣ D ) = P ( D ∣ C ) P ( C ) P ( D ) P(C|D)=\frac{P(D|C)P(C)}{P(D)} P(C∣D)=P(D)P(D∣C)P(C)
P ( C ∣ D ) = 1 × 1 3 1 2 = 2 3 P(C|D)=\frac{1\times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3} P(C∣D)=211×31=32
3. 歧义的理解，扩展条件
3.1. 概述
蒙特霍尔问题之所以那么多年来争论不休，本质上是由于语义理解上的歧义；事实上，根据不同的理解方式，蒙特霍尔问题一共有 4 个本质不同的版本。如果不了解其他版本的话，那当你在现实中遇到其他蒙特霍尔问题的变体时，也会很容易想当然地给出错误的答案。
其实，这个问题一共有两个"歧义"点，缺一不可：
- 主持人是否能确保避免打开正确答案？
- 主持人是否一定会验证一个和你选择不同的门？
3.2. 歧义4个版本
根据这两个问题的答案，我们就得到了这个问题的 4 个版本：
- 版本1（标准版）：主持人事先知道答案，会打开一扇你没选择的门，且其背后一定是羊；（1-是；2-是）
- 版本2（验证版）：主持人事先并不知道答案，随机打开了一扇你没选择的门，其背后恰好是羊；（1-否；2-是）
- 版本3（机选版）：主持人让系统随机打开一扇背后是羊的门，它恰好打开了一扇你没选择的门；（1-是；2-否）
- 版本4（随机版）：主持人让系统随机打开一扇门，它恰好打开了一扇你没选择的门，且其背后是羊；（1-否；2-否）
注：1与2是指上面的歧义点。
那么，我们该怎么理解这 4 个版本的不同之处呢？它们的本质不同在于：主持人的行为是否需要承担泄露结果的「风险」，使得「条件概率」发生变动。易见，在最初的状态下，我们选中汽车的概率是 1/3。
- 版本1（标准版） ，无论我们是否选中汽车，主持人总能找到 1 个背后是羊的门，这件事情是 100% 能达成的，所以概率分布完全没变，我们选中汽车的概率依然为 1/3；
- 版本2（验证版），主持人显然冒了风险，如果你选中了羊，那他有 1/2 的概率会选中汽车，所以我们选中汽车的条件概率变成了 （1/3） /（ 1/3+2/3×1/2）=1/2；
- 版本3（机选版），主持人其实也冒了风险，虽然不可能打开背后是汽车的门，但是在你选中羊的时候，有 1/2 的概率会随机你选择的门，所以我们选中汽车的条件概率变成了 （1/3） /（1/3+2/3×1/2）=1/2；
- 版本4（随机版），主持人显然冒了双重风险，一个风险是，打开了你选择的门；另一个风险是，它打开了你没选择的门，但其背后是汽车；在这种情况下，条件概率的分子分母都会变化；我们选中汽车的条件概率变成了（1/3×2/3）/（1/3×2/3+2/3×1/3）=1/2
除了「标准版」的答案是 1/3（应该换门）外，其他版本的答案均为 1/2 （换不换均可）。
由此可见，同一件事物对于不同人甚至掌握不同信息的同一个人概率可能不同。因此，概率并不能寄托在实际的物体上，而是存在于条件之下。
参考：
曾加. 蒙提霍尔问题（又称三门问题、山羊汽车问题）的正解是什么？. 知乎. 2022.04