POJ 3735 Training little cats 动态规划（矩阵的幂）

一、题目大意

我们有N只猫，每次循环进行K次操作（N<=100，K<=100），每次操作可有以下三种选择：

1、g i 给第i只猫1个食物

2、e i 让第i只猫吃完它所有的食物

3、s i j 交换第i和j只猫的食物。

求出M次循环后，每只猫有多少个食物？（M<=1000000000）

二、解题思路

假设已经循环过 w 次，设第i只猫的食物数量为 ai

设循环过 w+1 次，第 i 只猫的食物数量为 bi。

不难1次循环的k个操作后，bi = a1 * m1 + a2 * m2 + a3 * m3 + ... an * mn + C

所以可推出以下的矩阵成立

同时当 ai 和 bi 之间相差M次循环时，也有如下表达式成立。

考虑下初始的情况，一开始每只猫都没有食物，设 Si 为 M次循环后第 i 只猫的数量，把初值代入 a1 .. an，有如下表达式成立。

但是这样我们需要使用 101 * 101大小的矩阵进行相乘，而且本题目需要开long long。

但经过思考，发现可以把矩阵降低一维成为100。

我们可以发现矩阵M次方的规律。

1、对于矩阵中 1 <= 1 <= N，我们发现这些值不管成多少次，都与第M+1行和N+1列无关。

2、最后一行始终不变。

3、对于最后一列，我们发现它可以通过如下表

达式。在100 * 100的复杂性内计算。

设进行经过i次循环的最后一列为Ci。对于最后一列的第 j 行则有如下表达式。

维护4个滑动数组，计算每一次更新内圈的后，再更新最后一列的值，M次操作后，最后一列的值就是答案，因为M次次幂即可求解答案。（初始时每只小鼠没有食物，最一列开long long，中间开int即可）。

三、代码

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
int P[2][107][107], B[107][107];
ll _P[2][107], _B[107];
int N, M, K;
void pow(int _N)
{
    int cnt = 0;
    while (_N > 0)
    {
        int crt = cnt & 1, nxt = !(cnt & 1);
        if (_N & 1)
        {
            for (int i = 0; i < N; i++)
            {
                _P[nxt][i] = _B[i];
                for (int j = 0; j < N; j++)
                {
                    _P[nxt][i] = _P[nxt][i] + ((ll)B[i][j]) * _P[crt][j];
                    P[nxt][i][j] = 0;
                    for (int k = 0; k < N; k++)
                    {
                        P[nxt][i][j] = P[nxt][i][j] + B[i][k] * P[crt][k][j];
                    }
                }
            }
            for (int i = 0; i < N; i++)
            {
                _B[i] = _P[nxt][i];
                for (int j = 0; j < N; j++)
                {
                    B[i][j] = P[nxt][i][j];
                }
            }
        }
        for (int i = 0; i < N; i++)
        {
            _P[nxt][i] = _P[crt][i];
            for (int j = 0; j < N; j++)
            {
                _P[nxt][i] = _P[nxt][i] + ((ll)P[crt][i][j]) * _P[crt][j];
                P[nxt][i][j] = 0;
                for (int k = 0; k < N; k++)
                {
                    P[nxt][i][j] = P[nxt][i][j] + P[crt][i][k] * P[crt][k][j];
                }
            }
        }
        cnt++;
        _N >>= 1;
    }
}
void solve()
{
    for (int i = 0; i < 101; i++)
    {
        for (int j = 0; j < 101; j++)
        {
            B[i][j] = P[0][i][j] = P[1][i][j] = 0;
        }
        B[i][i] = 1;
        P[0][i][i] = 1;
        _P[0][i] = 0;
        _B[i] = 0;
    }
    char c;
    int a, b;
    for (int i = 0; i < K; i++)
    {
        scanf("\n%c", &c);
        if (c == 'g')
        {
            scanf("%d", &a);
            _P[0][a - 1]++;
        }
        else if (c == 's')
        {
            scanf("%d%d", &a, &b);
            for (int j = 0; j < N; j++)
            {
                int tmp = P[0][a - 1][j];
                P[0][a - 1][j] = P[0][b - 1][j];
                P[0][b - 1][j] = tmp;
            }
            ll tmpL = _P[0][a - 1];
            _P[0][a - 1] = _P[0][b - 1];
            _P[0][b - 1] = tmpL;
        }
        else if (c == 'e')
        {
            scanf("%d", &a);
            for (int j = 0; j < N; j++)
            {
                P[0][a - 1][j] = 0;
            }
            _P[0][a - 1] = 0;
        }
    }
    pow(M);
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        printf("%lld%c", _B[i], i + 1 == N ? '\n' : ' ');
    }
}
int main()
{
    while (true)
    {
        scanf("%d%d%d", &N, &M, &K);
        if (N == 0 && M == 0 && K == 0)
        {
            break;
        }
        solve();
    }
    return 0;
}