文章目录
[蓝桥杯 2022 国 A] 环境治理
题目链接
https://www.luogu.com.cn/problem/P8794
题目描述
LQ 国拥有 n n n 个城市，从 0 0 0 到 n − 1 n - 1 n−1 编号，这 n n n 个城市两两之间都有且仅有一条双向道路连接，这意味着任意两个城市之间都是可达的。每条道路都有一个属性 D D D，表示这条道路的灰尘度。当从一个城市 A 前往另一个城市 B 时，可能存在多条路线，每条路线的灰尘度定义为这条路线所经过的所有道路的灰尘度之和，LQ 国的人都很讨厌灰尘，所以他们总会优先选择灰尘度最小的路线。
LQ 国很看重居民的出行环境，他们用一个指标 P P P 来衡量 LQ 国的出行环境， P P P 定义为：
P = ∑ i = 0 n − 1 ∑ j = 0 n − 1 d ( i , j ) P=\sum \limits_{i=0}^{n-1} \sum \limits_{j=0}^{n-1} d(i,j) P=i=0∑n−1j=0∑n−1d(i,j)
其中 d ( i , j ) d(i,j) d(i,j) 表示城市 i i i 到城市 j j j 之间灰尘度最小的路线对应的灰尘度的值。
为了改善出行环境，每个城市都要有所作为，当某个城市进行道路改善时，会将与这个城市直接相连的所有道路的灰尘度都减少 1 1 1，但每条道路都有一个灰尘度的下限值 L L L，当灰尘度达到道路的下限值时，无论再怎么改善，道路的灰尘度也不会再减小了。
具体的计划是这样的：
- 第 1 1 1 天， 0 0 0 号城市对与其直接相连的道路环境进行改善；
- 第 2 2 2 天， 1 1 1 号城市对与其直接相连的道路环境进行改善；
......
- 第 n n n 天， n − 1 n - 1 n−1 号城市对与其直接相连的道路环境进行改善；
- 第 n + 1 n + 1 n+1 天， 0 0 0 号城市对与其直接相连的道路环境进行改善；
- 第 n + 2 n + 2 n+2 天， 1 1 1 号城市对与其直接相连的道路环境进行改善；
......
LQ 国想要使得 P P P 指标满足 P ≤ Q P \leq Q P≤Q。请问最少要经过多少天之后， P P P 指标可以满足 P ≤ Q P \leq Q P≤Q。如果在初始时就已经满足条件，则输出 0 0 0；如果永远不可能满足，则输出 − 1 -1 −1。
输入格式
输入的第一行包含两个整数 n , Q n, Q n,Q，用一个空格分隔，分别表示城市个数和期望达到的 P P P 指标。
接下来 n n n 行，每行包含 n n n 个整数，相邻两个整数之间用一个空格分隔，其中第 i i i 行第 j j j 列的值 D i , j ( D i , j = D j , i , D i , i = 0 ) D_{i,j} (D_{i,j}=D_{j,i},D_{i,i} = 0) Di,j(Di,j=Dj,i,Di,i=0) 表示城市 i i i 与城市 j j j 之间直接相连的那条道路的灰尘度。
接下来 n n n 行，每行包含 n n n 个整数，相邻两个整数之间用一个空格分隔，其中第 i i i 行第 j j j 列的值 L i , j ( L i , j = L j , i , L i , i = 0 ) L_{i,j} (L_{i,j} = L_{j,i}, L_{i,i} = 0) Li,j(Li,j=Lj,i,Li,i=0) 表示城市 i i i 与城市 j j j 之间直接相连的那条道路的灰尘度的下限值。
输出格式
输出一行包含一个整数表示答案。
样例 #1
样例输入 #1
3 10
0 2 4
2 0 1
4 1 0
0 2 2
2 0 0
2 0 0
样例输出 #1
2
提示
【样例说明】
初始时的图如下所示，每条边上的数字表示这条道路的灰尘度：
此时每对顶点之间的灰尘度最小的路线对应的灰尘度为：
- d ( 0 , 0 ) = 0 , d ( 0 , 1 ) = 2 , d ( 0 , 2 ) = 3 d(0, 0) = 0, d(0, 1) = 2, d(0, 2) = 3 d(0,0)=0,d(0,1)=2,d(0,2)=3；
- d ( 1 , 0 ) = 2 , d ( 1 , 1 ) = 0 , d ( 1 , 2 ) = 1 d(1, 0) = 2, d(1, 1) = 0, d(1, 2) = 1 d(1,0)=2,d(1,1)=0,d(1,2)=1；
- d ( 2 , 0 ) = 3 , d ( 2 , 1 ) = 1 , d ( 2 , 2 ) = 0 d(2, 0) = 3, d(2, 1) = 1, d(2, 2) = 0 d(2,0)=3,d(2,1)=1,d(2,2)=0。
初始时的 P P P 指标为 ( 2 + 3 + 1 ) × 2 = 12 (2 + 3 + 1) \times 2 = 12 (2+3+1)×2=12，不满足 P ≤ Q = 10 P \leq Q = 10 P≤Q=10;
第一天， 0 0 0 号城市进行道路改善，改善后的图示如下：
注意到边 ( 0 , 2 ) (0, 2) (0,2) 的值减小了 1 1 1，但 ( 0 , 1 ) (0, 1) (0,1) 并没有减小，因为 L 0 , 1 = 2 L_{0,1} = 2 L0,1=2 ，所以 ( 0 , 1 ) (0, 1) (0,1) 的值不可以再减小了。此时每对顶点之间的灰尘度最小的路线对应的灰尘度为：
- d ( 0 , 0 ) = 0 , d ( 0 , 1 ) = 2 , d ( 0 , 2 ) = 3 d(0, 0) = 0, d(0, 1) = 2, d(0, 2) = 3 d(0,0)=0,d(0,1)=2,d(0,2)=3，
- d ( 1 , 0 ) = 2 , d ( 1 , 1 ) = 0 , d ( 1 , 2 ) = 1 d(1, 0) = 2, d(1, 1) = 0, d(1, 2) = 1 d(1,0)=2,d(1,1)=0,d(1,2)=1，
- d ( 2 , 0 ) = 3 , d ( 2 , 1 ) = 1 , d ( 2 , 2 ) = 0 d(2, 0) = 3, d(2, 1) = 1, d(2, 2) = 0 d(2,0)=3,d(2,1)=1,d(2,2)=0。
此时 P P P 仍为 12 12 12。
第二天，1 号城市进行道路改善，改善后的图示如下：
此时每对顶点之间的灰尘度最小的路线对应的灰尘度为：
- d ( 0 , 0 ) = 0 , d ( 0 , 1 ) = 2 , d ( 0 , 2 ) = 2 d(0, 0) = 0, d(0, 1) = 2, d(0, 2) = 2 d(0,0)=0,d(0,1)=2,d(0,2)=2，
- d ( 1 , 0 ) = 2 , d ( 1 , 1 ) = 0 , d ( 1 , 2 ) = 0 d(1, 0) = 2, d(1, 1) = 0, d(1, 2) = 0 d(1,0)=2,d(1,1)=0,d(1,2)=0，
- d ( 2 , 0 ) = 2 , d ( 2 , 1 ) = 0 , d ( 2 , 2 ) = 0 d(2, 0) = 2, d(2, 1) = 0, d(2, 2) = 0 d(2,0)=2,d(2,1)=0,d(2,2)=0。
此时的 P P P 指标为 ( 2 + 2 ) × 2 = 8 < Q (2 + 2) \times 2 = 8 < Q (2+2)×2=8<Q，此时已经满足条件。
所以答案是 2 2 2。
【评测用例规模与约定】
- 对于 30 % 30\% 30% 的评测用例， 1 ≤ n ≤ 10 1 \leq n \leq 10 1≤n≤10， 0 ≤ L i , j ≤ D i , j ≤ 10 0 \leq L_{i,j} \leq D_{i,j} \leq 10 0≤Li,j≤Di,j≤10；
- 对于 60 % 60\% 60% 的评测用例， 1 ≤ n ≤ 50 1 \leq n \leq 50 1≤n≤50， 0 ≤ L i , j ≤ D i , j ≤ 1 0 5 0 \leq L_{i,j} \leq D_{i,j} \leq 10^5 0≤Li,j≤Di,j≤105；
- 对于所有评测用例， 1 ≤ n ≤ 100 1 \leq n \leq 100 1≤n≤100， 0 ≤ L i , j ≤ D i , j ≤ 1 0 5 0 \leq L_{i,j} \leq D_{i,j} \leq 10^5 0≤Li,j≤Di,j≤105， 0 ≤ Q ≤ 2 31 − 1 0 \leq Q \leq 2^{31} - 1 0≤Q≤231−1。
蓝桥杯 2022 国赛 A 组 F 题。
思路解析
很显然是一道 F l o y d Floyd Floyd，可以直接算出多源最短路各点权值。
但是还有个问题：清洁道路减少的灰尘度怎么算？如果按顺序每天更新道路灰尘度，复杂度为 O ( n 3 × k ) O(n^3 \times k) O(n3×k)， k k k 为天数，当很显然可能超时，那我们怎么知道最少需要多少天呢？
- 一开始我想用队列来存权值变化的节点，然后更新其他节点值再入队来达到更新所有节点最短路的问题，但是失败了，因为这样就变成了针对队头节点的单源最短路了。
那么应该怎么办？答案是：二分 。
我们可以发现：随着天数增加，街道灰尘度单调不增，所以可以用二分来猜答案，每次二分更新街道灰尘度，然后进行 F l o y d Floyd Floyd。这样复杂度就是 O ( n 3 ⋅ l o g k ) O(n^3·logk) O(n3⋅logk)，能过。
CODE
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
const int N = 110;
int n, Q; // n 是城市的数量，Q 是灰尘度之和的限制
int d[N][N], g[N][N], mini[N][N]; // d[i][j] 表示第 i 个城市和第 j 个城市之间的灰尘度，g[i][j] 表示初始的灰尘度，mini[i][j] 表示最小的灰尘度
void floyd(){ // 弗洛伊德算法，用于更新所有城市之间的最短路径（即最小灰尘度）
for(int k = 1; k <= n; ++k)
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= n; ++j)
d[i][j] = min(d[i][j],
(d[i][k] == INF || d[k][j] == INF) ? INF : d[i][k] + d[k][j]);
}
int all(){ // 计算所有城市之间的灰尘度之和
int res = 0;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= n; ++j)
res += d[i][j];
return res;
}
bool check(int x){ // 检查给定的清洁人数和城市编号是否满足条件
int clean = x / n; // 清洁人数
int city = x % n; // 城市编号
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= n; ++j)
d[i][j] = g[i][j]; // 恢复初始的灰尘度
if(x){
for(int i = 1; i <= n; ++i){
for(int j = 1; j <= n; ++j){
int dif;
if(i <= city) dif = clean + 1; // 如果城市编号小于等于给定的编号，那么清洁人数加一
else dif = clean;
d[i][j] = max(d[i][j] - dif, mini[i][j]); // 更新灰尘度，不能低于最小值
d[j][i] = max(d[j][i] - dif, mini[j][i]);
}
}
}
floyd(); // 更新最短路径
if(all() > Q) return false; // 如果灰尘度之和超过限制，返回 false
else return true;
}
int main(){
cin >> n >> Q; // 输入城市数量和限制
int dis;
for(int i = 1; i <= n; ++i){
for(int j = 1; j <= n; ++j){
scanf("%d", &dis); // 输入初始的灰尘度
g[i][j] = dis;
}
}
for(int i = 1; i <= n; ++i){
for(int j = 1; j <= n; ++j){
scanf("%d", &dis); // 输入最小的灰尘度
mini[i][j] = dis;
}
}
int l = 0, r = INF, flag = 0, ans = -1;
while(l < r){ // 使用二分搜索来找到最小的清洁人数和城市编号
int mid = (l + r) >> 1;
if(check(mid)) r = mid, ans = mid; // 如果满足条件，那么更新右边界和答案
else l = mid + 1; // 否则更新左边界
}
printf("%d\n", ans); // 输出答案
}给点思考
- 二分这步很妙，看似简单，但是想到不太容易，还是蒟蒻我练少了 >_<
- 每次更新街道的灰尘度，由于是无向图，所以要将双向边都更新。