二阶线性微分方程进行Laplace变换
前言
二阶线性微分方程:
一个二阶线性微分方程通常可以写成如下形式:
y ′ ′ ( t ) + p ( t ) y ′ ( t ) + q ( t ) y ( t ) = f ( t ) y^{\prime \prime}(t)+p(t) y^{\prime}(t)+q(t) y(t)=f(t) y′′(t)+p(t)y′(t)+q(t)y(t)=f(t)
其中， y ( t ) y(t) y(t) 是未知函数， y ′ ( t ) y^{\prime}(t) y′(t) 和 y ′ ′ ( t ) y^{\prime \prime}(t) y′′(t) 分别是它的一阶和二阶导数。 p ( t ) 、 q ( t ) p(t) 、 q(t) p(t)、q(t) 和 f ( t ) f(t) f(t) 是给定的函数，它们分别表示一阶导数的系数、二阶导数的系数和非齐次项。这是一个线性微分方程，因为未知函数及其导数的次数最高为 1 。
解决这种微分方程的目标是找到一个函数 y ( t ) y(t) y(t) 满足方程，并且满足一些初值或边界条件。
传递函数:
传递函数是一个表示线性时不变系统输入和输出关系的数学表达式。对于一个线性时不变系统，输入信号 u ( t ) u(t) u(t) 和输出信号 y ( t ) y(t) y(t) 之间的关系可以通过传递函数 H ( s ) H(s) H(s) 描述，其中 s s s 是复变量。传递函数通常表示为:
H ( s ) = Y ( s ) U ( s ) H(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} H(s)=U(s)Y(s)
其中， Y ( s ) Y(s) Y(s) 是输出信号的 Laplace 变换， U ( s ) U(s) U(s) 是输入信号的 Laplace 变换。传递函数描述了系统对不同频率的输入信号的响应。
在频域中，传递函数可以分解为幅度和相位。这使得传递函数成为分析和设计线性时不变系统的有力工具。
在控制工程和信号处理领域，传递函数通常用于分析系统的稳定性、响应特性以及进行控制器设计。
正文
对于给定的二阶微分方程:
y ′ ′ ( t ) + ( 1 + t 2 ) y ′ ( t ) + e t y ( t ) = sin ( t ) y^{\prime \prime}(t)+\left(1+t^2\right) y^{\prime}(t)+e^t y(t)=\sin (t) y′′(t)+(1+t2)y′(t)+ety(t)=sin(t)
将二阶线性微分方程转化为传递函数通常需要进行 Laplace 变换。假设输入信号是 u ( t ) u(t) u(t) ，输出信号是 y ( t ) y(t) y(t) ，二阶微分方程可以表示为:
y ′ ′ ( t ) + ( 1 + t 2 ) y ′ ( t ) + e t y ( t ) = sin ( t ) y^{\prime \prime}(t)+\left(1+t^2\right) y^{\prime}(t)+e^t y(t)=\sin (t) y′′(t)+(1+t2)y′(t)+ety(t)=sin(t)
首先，我们对整个方程进行 Laplace 变换:
L { y ′ ′ ( t ) } + ( 1 + t 2 ) L { y ′ ( t ) } + e t L { y ( t ) } = L { sin ( t ) } \mathcal{L}\left\{y^{\prime \prime}(t)\right\}+\left(1+t^2\right) \mathcal{L}\left\{y^{\prime}(t)\right\}+e^t \mathcal{L}\{y(t)\}=\mathcal{L}\{\sin (t)\} L{y′′(t)}+(1+t2)L{y′(t)}+etL{y(t)}=L{sin(t)}
在 Laplace 变换中，导数的变换规则为:
L { y ′ ( t ) } = s Y ( s ) − y ( 0 ) L { y ′ ′ ( t ) } = s 2 Y ( s ) − s y ( 0 ) − y ′ ( 0 ) \begin{aligned} & \mathcal{L}\left\{y^{\prime}(t)\right\}=s Y(s)-y(0) \\ & \mathcal{L}\left\{y^{\prime \prime}(t)\right\}=s^2 Y(s)-s y(0)-y^{\prime}(0) \end{aligned} L{y′(t)}=sY(s)−y(0)L{y′′(t)}=s2Y(s)−sy(0)−y′(0)
其中， Y ( s ) Y(s) Y(s) 是输出信号 y ( t ) y(t) y(t) 的 Laplace 变换。
代入这些变换，我们得到:
s 2 Y ( s ) − s y ( 0 ) − y ′ ( 0 ) + ( 1 + t 2 ) ( s Y ( s ) − y ( 0 ) ) + e t Y ( s ) = 1 s 2 + 1 s^2 Y(s)-s y(0)-y^{\prime}(0)+\left(1+t^2\right)(s Y(s)-y(0))+e^t Y(s)=\frac{1}{s^2+1} s2Y(s)−sy(0)−y′(0)+(1+t2)(sY(s)−y(0))+etY(s)=s2+11
整理上述方程，得到传递函数的形式:
Y ( s ) U ( s ) = 1 s 2 + 1 + ( 1 + t 2 ) s + e t \frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^2+1+\left(1+t^2\right) s+e^t} U(s)Y(s)=s2+1+(1+t2)s+et1
其中， U ( s ) U(s) U(s) 是输入信号 u ( t ) u(t) u(t) 的 Laplace 变换。
因此，通过 Laplace 变换，得到传递函数:
H ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = 1 s 2 + 1 + ( 1 + t 2 ) s + e t H(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^2+1+\left(1+t^2\right) s+e^t} H(s)=U(s)Y(s)=s2+1+(1+t2)s+et1
这里 Y ( s ) Y(s) Y(s) 是输出信号 y ( t ) y(t) y(t) 的 Laplace 变换， U ( s ) U(s) U(s) 是输入信号 u ( t ) u(t) u(t) 的 Laplace 变换。
由于涉及到非常数的系数 t t t ，所以传递函数也包含 t t t 。在 MATLAB 中，通过 'ilaplace'函数进行逆变换，可以得到一个包含 t t t 的表达式。
上述 MATLAB 代码示例中，使用 'ilaplace - 函数逆变换，得到的传递函数 H ( t ) H(t) H(t) 将包含 t t t ，具体的表达式将在 MATLAB 中显示。因此，您可以运行上述代码，查看输出结果。
代码实现
matlab
syms s t
% 定义 Laplace 变换
Y = laplace('D2y + (1 + t^2)*Dy + exp(t)*y - sin(t)', t, s);
% 逆变换得到传递函数
H = ilaplace(1 / (s^2 + 1 + (1 + t^2)*s + exp(t)), s, t);
% 显示传递函数
disp('传递函数:');
disp(H);