自由度的定义：自由度（Degree of Freedom，简称DOF）是指系统中可以自由变化的独立参数的数量，也就是系统的状态空间维度（有几个量可以调节）。
公式预警！！！ 都是超级简单的向量的相加，相信我读完你会有收获哒！！！
2.1 2D坐标转换
1. 平移（Translation）
在2D空间中，我们经常需要将一个点平移到另一个位置(如下图所示)。假设空间中的一点P，其用坐标表示为（x,y）；将其向 x方向平移 tx，向y方向平移ty, 假设平移后点的坐标为（x',y'）,则上述点的平移操作可以归纳为：
x ′ = x + t x y ' = y + t y O P ′ → = O P → + P P ′ → x' = x+t_x \\y' = y+t_y \\ \overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PP'} x′=x+txy'=y+tyOP′ =OP +PP′
公式（1）又可以采用矩阵表述如下：
x ′ y ′ \] = \[ 1 0 t x 0 1 t y \] \[ x y \] \\left\[ \\begin{array}{cc} x' \\\\ y'\\end{array} \\right\] = \\left\[ \\begin{array}{cc} 1 \& 0\&t_x\\\\ 0\&1\&t_y\\end{array} \\right\]\\left\[ \\begin{array}{cc} x \\\\ y\\end{array} \\right\] \[x′y′\]=\[1001txty\]\[xy
2. 缩放（Scaling）
其中，s_x和s_y分别是沿x和y轴的缩放因子。
x ′ = s x x y ' = s y s O P ′ → = s O P → x' = s_xx \\y' = s_ys \\ \overrightarrow{OP'} = s\overrightarrow{OP} x′=sxxy'=sysOP′ =sOP
齐次坐标的形式： x ′ y ′ 1 = s x 0 1 0 s y 1 0 0 1 x y 1 \left \\begin{array}{cc} x' \\\\ y'\\\\ 1\\end{array} \\right = \left \\begin{array}{cc} s_x \& 0\&1\\\\ 0\&s_y\&1 \\\\ 0\&0\&1\\end{array} \\right\left \\begin{array}{cc} x \\\\ y \\\\1\\end{array} \\right x′y′1 = sx000sy0111 xy1
3. 旋转（Rotation）
点P（x，y）绕坐标系原点旋转 θ \theta θ角得到点P'（x'，y'）有：
将OP与x-轴正方向的夹角记做 β \beta β，OP的长度为r，且 r c o s β = x rcos\beta = x rcosβ=x, r s i n β = y rsin\beta=y rsinβ=y,则P'的坐标可推导为：
x ′ = r c o s ( θ + β ) = r ( c o s θ c o s β − s i n θ s i n β ) = r c o s β c o s θ − r s i n β s i n θ y ′ = r s i n ( θ + β ) = r ( s i n θ c o s β + c o s θ s i n β ) = r c o s β s i n θ + r s i n β c o s θ x' = rcos(\theta + \beta) = r(cos\theta cos\beta - sin\theta sin\beta) = rcos\beta cos\theta -rsin\beta sin\theta \\ y' = rsin(\theta + \beta) = r(sin\theta cos\beta + cos\theta sin\beta) = rcos\beta sin\theta +rsin\beta cos\theta \\ x′=rcos(θ+β)=r(cosθcosβ−sinθsinβ)=rcosβcosθ−rsinβsinθy′=rsin(θ+β)=r(sinθcosβ+cosθsinβ)=rcosβsinθ+rsinβcosθ
x ′ = x c o s θ − y s i n θ y ′ = x s i n θ + y c o s θ x' = xcos\theta - ysin\theta \\ y'=xsin\theta+ycos\theta x′=xcosθ−ysinθy′=xsinθ+ycosθ
同理写成齐次坐标的形式： x ′ y ′ 1 = c o s θ − s i n θ 1 s i n θ c o s θ 1 0 0 1 x y 1 \left \\begin{array}{cc} x' \\\\ y'\\\\ 1\\end{array} \\right = \left \\begin{array}{cc} cos\\theta \& -sin\\theta\&1\\\\ sin\\theta\&cos\\theta\&1 \\\\ 0\&0\&1\\end{array} \\right\left \\begin{array}{cc} x \\\\ y \\\\1\\end{array} \\right x′y′1 = cosθsinθ0−sinθcosθ0111 xy1
x ′ = i + x y ′ = j + y O P ′ → = O O ′ → + O ′ P → = ( i , j ) + ( x , y ) = ( i + x , j + y ) x'=i+x \\ y'=j+y \\ \overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'P} = (i, j) + (x, y) = (i+x,j+y) x′=i+xy′=j+yOP′ =OO′ +O′P =(i,j)+(x,y)=(i+x,j+y)
将坐标系的平移写成齐次坐标的形式： x ′ y ′ 1 = 1 0 i 0 1 j 0 0 1 x y 1 \left \\begin{array}{cc} x' \\\\ y'\\\\ 1\\end{array} \\right = \left \\begin{array}{cc} 1 \& 0\&i\\\\ 0\&1\&j \\\\ 0\&0\&1\\end{array} \\right\left \\begin{array}{cc} x \\\\ y \\\\1\\end{array} \\right x′y′1 = 100010ij1 xy1
2. 坐标系旋转
已知 红点P在蓝色坐标系的位置(x, y) ，也知道蓝色坐标系相较于黑色坐标系顺时针旋转的角度θ。
求解： 红点在黑色坐标系同的位置(X', Y')？
蓝色坐标系相较于黑色坐标系顺时针旋转的角度θ ，相当于计算P点在蓝色系内绕远点逆时针旋转θ
向量分解的方法推导：
将P点的坐标，沿黑色坐标系分解：
x ′ = x c o s θ − y s i n θ y ′ = x s i n θ + y c o s θ x'=xcos\theta-ysin\theta \\ y'=xsin\theta+ycos\theta x′=xcosθ−ysinθy′=xsinθ+ycosθ
写成齐次坐标的形式： x ′ y ′ 1 = c o s θ − s i n θ 1 s i n θ c o s θ 1 0 0 1 x y 1 \left \\begin{array}{cc} x' \\\\ y'\\\\ 1\\end{array} \\right = \left \\begin{array}{cc} cos\\theta \& -sin\\theta\&1\\\\ sin\\theta\&cos\\theta\&1 \\\\ 0\&0\&1\\end{array} \\right\left \\begin{array}{cc} x \\\\ y \\\\1\\end{array} \\right x′y′1 = cosθsinθ0−sinθcosθ0111 xy1
P点在A系下的坐标可以用向量 O a P → \overrightarrow{O_aP} OaP 表示：
O a P → = O a O b → + O b P → \overrightarrow{O_aP} = \overrightarrow{O_aO_b}+\overrightarrow{O_bP} OaP =OaOb +ObP
其中 O a O b → = ( δ x , δ y ) \overrightarrow{O_aO_b}=(\delta_x,\delta_y) OaOb =(δx,δy)，那么我们该如何表示向量 O b P → \overrightarrow{O_bP} ObP 的坐标值呢？
在此处有个误区，大家可能会觉得 O b P → = ( x b , y b ) \overrightarrow{O_bP}=(x_b,y_b) ObP =(xb,yb)。其实不是这样的，(xb,yb)坐标表示的是点P在B坐标系中的位置，视角是站在B坐标系上的，此时我们的视角应该是在A坐标系，或者是和A坐标系平行的。
所以，我们应该将B坐标系进行旋转，保证和A坐标系平行的，如下图所示。
根据前面旋转部分的推导，我们可以得到:
O b P → = c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ x b y b \overrightarrow{O_bP}=\left \\begin{array}{cc} cos\\theta \& -sin\\theta\\\\ sin\\theta\&cos\\theta \\end{array} \\right\left \\begin{array}{cc} x_b \\\\ y_b \\end{array} \\right ObP =cosθsinθ−sinθcosθxbyb
则根据公式（14），
O a P → = x a y a = δ x δ y + c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ x b y b = c o s θ ∗ x b + δ x − s i n θ ∗ y b s i n θ ∗ x b + δ y + c o s θ ∗ y b \overrightarrow{O_aP} = \left\\begin{array}{} x_a \\\\ y_a \\end{array}\\right =\left\\begin{array}{} \\delta_x \\\\ \\delta_y \\end{array}\\right + \left\\begin{array}{} cos\\theta \& -sin\\theta \\\\ sin\\theta \& cos\\theta \\end{array}\\right\left\\begin{array}{} x_b \\\\ y_b \\end{array}\\right = \left\\begin{array}{} cos\\theta\*x_b+\\delta_x -sin\\theta\*y_b \\\\ sin\\theta\*x_b+\\delta_y + cos\\theta\*y_b \\end{array}\\right OaP =xaya=δxδy+cosθsinθ−sinθcosθxbyb=cosθ∗xb+δx−sinθ∗ybsinθ∗xb+δy+cosθ∗yb
写成齐次坐标的形式： x a y a 1 = c o s θ − s i n θ δ x s i n θ c o s θ δ y 0 0 1 x b y b 1 \left \\begin{array}{cc} x_a \\\\ y_a\\\\ 1\\end{array} \\right = \left \\begin{array}{cc} cos\\theta \& -sin\\theta\&\\delta_x\\\\ sin\\theta\&cos\\theta\&\\delta_y \\\\ 0\&0\&1\\end{array} \\right\left \\begin{array}{cc} x_b \\\\ y_b \\\\1\\end{array} \\right xaya1 = cosθsinθ0−sinθcosθ0δxδy1 xbyb1
T T T表示transform，变换的意思。
B A T ^A_BT BAT表示的是 由B坐标系变换为A坐标系的意思。
对于2D坐标系的旋转和平移大致上我们可以得到以下：
P a = B A T ⋅ P b P b = B A T − 1 ⋅ P a P_a =_B^AT ·P_b \\ P_b =_B^AT^{-1} ·P_a Pa=BAT⋅PbPb=BAT−1⋅Pa
2.3 3D坐标系转换
3D坐标系转换，仅仅是添加了一维z-轴，所使用的基础公式和2D并无差异。
1. 3D坐标系平移
同样已知 红色点在蓝色坐标系的位置为(x1,y1,z1)
蓝色坐标系的原点在黑色坐标系中的位置为(δx,δy,δz)
求解： 红色点在黑色坐标系中的位置点(x2,y2,z2)?
根据向量的加法有：
O 2 P → = O 2 O 1 → + O 1 P → = ( δ x , δ y , δ z ) + ( x 1 , y 1 , z 1 ) \overrightarrow{O_2P} = \overrightarrow{O_2O_1} + \overrightarrow{O_1P} = (\delta_x,\delta_y,\delta_z)+(x_1,y_1,z_1) O2P =O2O1 +O1P =(δx,δy,δz)+(x1,y1,z1)
同样，用齐次坐标表示： x 2 y 2 z 2 = 1 0 0 δ x 0 1 0 δ y 0 0 1 δ z x 1 y 1 z 1 \left\\begin{array}{cc} x_2 \\\\ y_2 \\\\z_2 \\end{array} \\right = \left \\begin{array}{cc} 1 \& 0\&0\&\\delta_x\\\\ 0\&1\&0\&\\delta_y \\\\0\&0\&1\&\\delta_z\\end{array} \\right\left \\begin{array}{cc} x_1 \\\\ y_1 \\\\z_1\\end{array} \\right x2y2z2 = 100010001δxδyδz x1y1z1
2. 3D坐标系旋转
绕z轴旋转（同2D旋转）：
绕z-轴旋转，z坐标保持不变 x 2 y 2 z 2 = c o s θ − s i n θ 0 s i n θ c o s θ 0 0 0 1 x 1 y 1 z 1 \left \\begin{array}{cc} x_2 \\\\ y_2\\\\ z_2\\end{array} \\right = \left \\begin{array}{cc} cos\\theta \& -sin\\theta\&0\\\\ sin\\theta\&cos\\theta\&0 \\\\ 0\&0\&1\\end{array} \\right\left \\begin{array}{cc} x_1 \\\\ y_1 \\\\z_1\\end{array} \\right x2y2z2 = cosθsinθ0−sinθcosθ0001 x1y1z1
绕y轴旋转：
绕y-轴旋转，z坐标保持不变
x 2 y 2 z 2 = c o s θ 0 s i n θ 0 1 0 − s i n θ 0 c o s θ x 1 y 1 z 1 \left \\begin{array}{cc} x_2 \\\\ y_2\\\\ z_2\\end{array} \\right = \left \\begin{array}{cc} cos\\theta \&0\& sin\\theta\\\\0\&1\&0\\\\ -sin\\theta\&0\&cos\\theta \\\\ \\end{array} \\right\left \\begin{array}{cc} x_1 \\\\ y_1 \\\\z_1\\end{array} \\right x2y2z2 = cosθ0−sinθ010sinθ0cosθ x1y1z1
x坐标保持不变 x 2 y 2 z 2 = 1 0 0 0 c o s θ s i n θ 0 − s i n θ c o s θ x 1 y 1 z 1 \left \\begin{array}{cc} x_2 \\\\ y_2\\\\ z_2\\end{array} \\right = \left \\begin{array}{cc} 1\&0\&0\\\\0\&cos\\theta \& sin\\theta\\\\ 0\&-sin\\theta\&cos\\theta \\\\ \\end{array} \\right\left \\begin{array}{cc} x_1 \\\\ y_1 \\\\z_1\\end{array} \\right x2y2z2 = 1000cosθ−sinθ0sinθcosθ x1y1z1
3D坐标系的旋转：
R z y x = R x ( α ) R y ( β ) R z ( γ ) R_{zyx}=R_x(\alpha)R_y(\beta)R_z(\gamma) Rzyx=Rx(α)Ry(β)Rz(γ)
将上述三个矩阵依次相乘：
上述矩阵看成： R 11 R 12 R 13 R 21 R 22 R 23 R 31 R 32 R 33 \left \\begin{array}{cc} R_{11}\&R_{12}\&R_{13} \\\\ R_{21}\&R_{22}\&R_{23}\\\\ R_{31}\&R_{32}\&R_{33}\\end{array} \\right R11R21R31R12R22R32R13R23R33
如果我想通过旋转矩阵反求旋转角度，该如何做呢？观察旋转矩阵各个项之间的关系。
三角函数中，如果要求解一个角度值，可以通过:
θ = a r c t a n ( s i n θ , c o s θ ) \theta=arctan(sin\theta,cos\theta) θ=arctan(sinθ,cosθ)
求绕x-轴旋转的角度 ：
α = a r c t a n ( R 21 , R 11 ) \alpha=arctan(R_{21},R_{11}) α=arctan(R21,R11) 求绕y-轴旋转的角度：
求解绕y轴旋转有点麻烦，已知公式（24），则：
β = a r c t a n ( − R 31 , c o s β ) \beta=arctan(-R_{31},cos\beta) β=arctan(−R31,cosβ)
那么 c o s β cos\beta cosβ怎么求呢？我们继续观察 R 11 R_{11} R11和 R 21 R_{21} R21, 他们分别是 c o s ( α ) ⋅ c o s ( β ) cos(α)⋅cos(β) cos(α)⋅cos(β) 和 s i n ( α ) ⋅ c o s ( β ) sin(α)⋅cos(β) sin(α)⋅cos(β)
尝试使用 R 11 2 + R 21 2 \sqrt{R_{11}^2+R_{21}^2} R112+R212 ,化简后得到：
c o s β = R 11 2 + R 21 2 cos\beta =\sqrt{R_{11}^2+R_{21}^2} cosβ=R112+R212
则：
β = a r c t a n ( − R 31 , R 11 2 + R 21 2 ) \beta=arctan(-R_{31},\sqrt{R_{11}^2+R_{21}^2}) β=arctan(−R31,R112+R212 ) 求绕z-轴的旋转角度：
γ = a r c t a n ( R 32 , R 33 ) \gamma=arctan(R_{32},R_{33}) γ=arctan(R32,R33)
