sklearn岭回归 - 技术栈

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- 基本原理
- sklearn实现

基本原理

最小二乘法的判定条件是

min ⁡ w ∥ X w − y ∥ 2 2 \min_w\Vert Xw-y\Vert_2^2 wmin∥Xw−y∥22

其中， min ⁡ w F ( w ) \min_w F(w) minwF(w)表示 F ( w ) F(w) F(w)最小时的 w w w； w w w是拟合参数， x , y x,y x,y是变量。

对于线性问题，可通过对 w w w求导，得到 F ( w ) F(w) F(w)极值处的 w w w，具体表达式为

w = ( X T X ) − 1 X T y w=(X^TX)^{-1}X^Ty w=(XTX)−1XTy

但这里面有一个问题，若 X X X各分量的实际值相去甚远，会导致不同分量的权重不同，尽管 X T X X^TX XTX满秩，却存在一些接近0的特征值，使得问题陷入病态，引入较大误差。

这时可以引入一个参数 α \alpha α，令

min ⁡ w ∥ X w − y ∥ 2 2 + α ∥ w ∥ 2 2 \min_w\Vert Xw-y\Vert_2^2+\alpha\Vert w\Vert^2_2 wmin∥Xw−y∥22+α∥w∥22

从其表达式可以看出，岭回归中，要求拟合参数 w w w的值尽可能地靠近0，这种方案可以不局限于线性拟合，也可以应用在非线性拟合中。例如，对于 y = ∣ sin ⁡ x ∣ y=\vert\sin x\vert y=∣sinx∣这样的函数，其最小值显然在 x = 0 x=0 x=0处，但若没有一个 α \alpha α这一项作为惩罚因子，那么关于 y = ∣ sin ⁡ x ∣ y=\vert\sin x\vert y=∣sinx∣的优化注定是发散的，因为 sin ⁡ x \sin x sinx是周期函数。

sklearn实现

下面构造一个病态的优化问题，令 X X X为 10 × 10 10\times10 10×10的矩阵，且 x i j = 1 i + j + 1 x_{ij}=\frac{1}{i+j+1} xij=i+j+11。 Y Y Y为所有元素都为1的向量。由于 X X X并不满秩，所以这个线性优化问题要么无解，要么多解，是普通最小二乘法无法解决的问题

python 复制代码

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn import linear_model as lm
X = 1.0 / (np.arange(1, 11) + np.arange(0, 10).reshape(-1,1))
y = np.ones(10)

lso = lm.LinearRegression()
lso.fit(X,y)
print(lso.coef_)
# [0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.]

但在岭回归中，加入了惩罚因子，使得所有参数在拟合过程中都尽可能地小，具体实现如下

python 复制代码

alphas = np.logspace(-10, -2, 200)
coefs = []
for a in alphas:
    ridge = lm.Ridge(alpha=a, fit_intercept=False)
    ridge.fit(X, y)
    coefs.append(ridge.coef_)

ax = plt.subplot()

ax.plot(alphas, coefs)
ax.set_xscale("log")
ax.set_xlim(ax.get_xlim()[::-1])  # reverse axis
plt.xlabel("alpha")
plt.ylabel("weights")
plt.show()

结果如图所示

随着 α \alpha α逐渐变小，拟合参数之间的差异也逐渐增大，当 α = 0.01 \alpha=0.01 α=0.01时，拟合参数为

python 复制代码

>>> print(coefs[-1])
[-1.15365551 -0.06380733  0.82265094  1.33384561  1.62104261  
1.77805326 1.85752347  1.88963634  1.89230434  1.87650476]

而当 α = 0.1 \alpha=0.1 α=0.1时，其拟合参数为

python 复制代码

>>> print(coefs[0])
[2.64506216  -27.60371349    7.99290855  133.67544639   18.04324721
-123.85503932 -175.62007046 -113.78633324   45.15379398  274.0230348 ]