【位运算】【二分查找】【C++算法】100160价值和小于等于 K 的最大数字

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本文涉及的基础知识点

二分查找算法合集

位运算

LeetCode100160. 价值和小于等于 K 的最大数字

给你一个整数 k 和一个整数 x 。

令 s 为整数 num 的下标从1 开始的二进制表示。我们说一个整数 num 的价值是满足 i % x == 0 且 s[i] 是设置位的 i 的数目。

请你返回最大整数 num ，满足从 1 到 num 的所有整数的价值和小于等于 k 。

注意：

一个整数二进制表示下设置位是值为 1 的数位。

一个整数的二进制表示下标从右到左编号，比方说如果 s == 11100 ，那么 s[4] == 1 且 s[2] == 0 。

示例 1：

输入：k = 9, x = 1

输出：6

解释：数字 1 ，2 ，3 ，4 ，5 和 6 二进制表示分别为 "1" ，"10" ，"11" ，"100" ，"101" 和 "110" 。

由于 x 等于 1 ，每个数字的价值分别为所有设置位的数目。

这些数字的所有设置位数目总数是 9 ，所以前 6 个数字的价值和为 9 。

所以答案为 6 。

示例 2：

输入：k = 7, x = 2

输出：9

解释：由于 x 等于 2 ，我们检查每个数字的偶数位。

2 和 3 在二进制表示下的第二个数位为设置位，所以它们的价值和为 2 。

6 和 7 在二进制表示下的第二个数位为设置位，所以它们的价值和为 2 。

8 和 9 在二进制表示下的第四个数位为设置位但第二个数位不是设置位，所以它们的价值和为 2 。

数字 1 ，4 和 5 在二进制下偶数位都不是设置位，所以它们的价值和为 0 。

10 在二进制表示下的第二个数位和第四个数位都是设置位，所以它的价值为 2 。

前 9 个数字的价值和为 6 。

前 10 个数字的价值和为 8，超过了 k = 7 ，所以答案为 9 。

提示：

1 <= k <= 10^15^

1 <= x <= 8

二分查找

随着num的增加，价值和单调增加。这是二分查找的基础。寻找最后一个符合条件的nums，用左闭右开空间。

如何求1到num第i位的价值和。由于0不包括1，所以本问题等效与0到num的价值和。


i==0	0 1 ...	周期长度2
i==1	00 01 1 0 11...	周期长度4
i==2	000 001 010 011 1 00 1 01 1 10 111...	周期长度8
...

周期长度 1<<i 。前半个周期，全部是0，后半个周期全部是1。

[0,num]共num+1个数。

完整周期数：(num+1)/(1 << i ) 每个周期有半数1
不足一个周期的数有iCnt2= (num+1)%(1<<i) 1的数量为：iCnt2-- (i <<i )/2 iCnt如果小于0，取0.

代码

核心代码

这周的LeetCode C++可能有问题，总溢出，所以加了不少判断。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
	long long findMaximumNumber(long long k, int x) {
		long long left = 0, r = 5e17;
		while (r - left > 1)
		{
			const auto mid = left + (r - left) / 2;
			if (Cnt(mid, k,x) <= k)
			{
				left = mid;
			}
			else
			{
				r = mid;
			}
		}
		return left;
	}
	long long Cnt(long long mid,int k,int x )
	{
		long long llCnt = 0;
		for (int ii = x; ii <= 60; ii += x)
		{
			const long long tmp = 1LL << ii;//周期
			const long long cur1 = (mid + 1) / tmp * (tmp / 2);	
			const long long cur2 = max(0LL, (mid + 1) % tmp - tmp / 2);
			if (LLONG_MAX - llCnt < cur1)
			{
				return k + 1;
			}
			llCnt += cur1;
			
			if (LLONG_MAX - llCnt < cur2)
			{
				return k + 1;
			}
			llCnt += cur2;
		}
		return llCnt;
	}
};

测试用例

cpp 复制代码

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
	assert(t1 == t2);
}

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	if (v1.size() != v2.size())
	{
		assert(false);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert(v1[i], v2[i]);
	}
}


int main()
{
	
	long long k;
	int x;
	{
		Solution sln;
		k = 19, x = 6;
		auto res = sln.findMaximumNumber(k, x);
		Assert(50LL, res);
	}
	{
		Solution sln;
		k = 9, x = 1;
		auto res = sln.findMaximumNumber(k, x);
		Assert(6LL, res);
	}
	{
		Solution sln;
		k = 7, x = 2;
		auto res = sln.findMaximumNumber(k, x);
		Assert(9LL, res);
	}
	{
		Solution sln;
		k = 343883588590415, x = 1;
		auto res = sln.findMaximumNumber(k, x);
		//Assert(9LL, res);
	}	
}

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标及时的反馈拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快

速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

我想对大家说的话
闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法用**C++**实现。