矩阵的谱半径与条件数
2023年11月18日
文章目录
- 矩阵的谱半径与条件数
-
- [1. 矩阵的谱半径](#1. 矩阵的谱半径)
- [2. 谱半径与范数的关系](#2. 谱半径与范数的关系)
- [3. 矩阵的条件数](#3. 矩阵的条件数)
- 下链
1. 矩阵的谱半径
定义 设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n} } A∈Cn×n ， λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n { \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n} λ1,λ2,⋯,λn 是A的特征值，则称
ρ ( A ) = max 1 ≤ i ≤ n ∣ λ i ∣ \rho(A)=\max_{1\le i\le n}| \lambda_i| ρ(A)=1≤i≤nmax∣λi∣
为矩阵 A {A} A 的谱半径。矩阵的谱指的是一个矩阵的特征值的集合。
定理 设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n} } A∈Cn×n ，则
- ρ ( A H ) = ρ ( A T ) = ρ ( A ) {\rho(A^ \mathrm H)=\rho(A^ \mathrm T)=\rho(A)} ρ(AH)=ρ(AT)=ρ(A)
- ρ ( A k ) = [ ρ ( A ) ] k {\rho(A^k)=[\rho(A)]^k} ρ(Ak)=[ρ(A)]k
- 当 A {A} A 是正规矩阵 时， ρ ( A ) = ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 {\rho(A)= || A ||_{2 }} ρ(A)=∣∣A∣∣2
2. 谱半径与范数的关系
设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n ， λ {\lambda} λ 是 A {A} A 的一个特征值， x {x} x 是 A {A} A 属于 λ { \lambda} λ 的特征向量，则
A x = λ x Ax= \lambda x Ax=λx
对 C n × n { \mathbb C^{n \times n} } Cn×n 中任一矩阵范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ m { || \cdot ||{m }} ∣∣⋅∣∣m 以及与它相容的向量范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v { || \cdot ||{v }} ∣∣⋅∣∣v ，有
∣ λ ∣ ⋅ ∣ ∣ x ∣ ∣ v = ∣ ∣ λ x ∣ ∣ v = ∣ ∣ A x ∣ ∣ v ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ x ∣ ∣ v | \lambda| \cdot || x ||{v }= || \lambda x ||{ v}= || Ax ||{ v} \le || A ||{ } \cdot || x ||_{v } ∣λ∣⋅∣∣x∣∣v=∣∣λx∣∣v=∣∣Ax∣∣v≤∣∣A∣∣⋅∣∣x∣∣v
从而
∣ λ ∣ ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ | \lambda| \le || A ||_{ } ∣λ∣≤∣∣A∣∣
于是有如下定理。
定理 ρ ( A ) ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ { \rho(A)\le || A ||{ }} ρ(A)≤∣∣A∣∣ ，其中 ∣ ∣ A ∣ ∣ { || A ||{ }} ∣∣A∣∣ 是 A {A} A 的任一矩阵范数。
定理 设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n} } A∈Cn×n ，则任意 ϵ > 0 { \epsilon>0} ϵ>0 ，必存在 C n × n { \mathbb C^{n \times n} } Cn×n 上矩阵范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ m { || \cdot ||{m }} ∣∣⋅∣∣m ，使得
∣ ∣ A ∣ ∣ m ≤ ρ ( A ) + ϵ || A ||{ m} \le \rho(A)+ \epsilon ∣∣A∣∣m≤ρ(A)+ϵ
也就是虽然矩阵范数可能大于谱近谱半径的矩阵半径，却又总是存在无限接范数。数值分析中，谱半径可以认为是算子范数。
3. 矩阵的条件数
引理 设 P ∈ C n × n {P\in \mathbb C^{n \times n} } P∈Cn×n ，若对 C n × n { \mathbb C^{n \times n} } Cn×n 上的某一矩阵范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ { || \cdot ||{ }} ∣∣⋅∣∣ 有 ∣ ∣ P ∣ ∣ < 1 { || P ||{ }<1} ∣∣P∣∣<1 ，则 I − P {I-P} I−P 可逆。
定理 设 A ∈ C n n × n {A\in \mathbb C_n^{n \times n} } A∈Cnn×n 可逆， δ A ∈ C n × n { \delta A\in \mathbb C^{n \times n} } δA∈Cn×n 。若对 C n × n { \mathbb C^{n \times n} } Cn×n 上的某一矩阵范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ { || \cdot ||{ }} ∣∣⋅∣∣ 有 ∣ ∣ A − 1 δ A ∣ ∣ < 1 { || A^{-1} \delta A ||{ }<1} ∣∣A−1δA∣∣<1 ，则
- A + δ A {A+ \delta A} A+δA 可逆
- ∣ ∣ ( A + δ A ) − 1 ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ 1 − ∣ ∣ A − 1 δ A ∣ ∣ {|| (A+ \delta A)^{-1} ||{ }\le \frac{|| A^{-1} ||{ }}{1- || A^{-1} \delta A ||_{ }}} ∣∣(A+δA)−1∣∣≤1−∣∣A−1δA∣∣∣∣A−1∣∣
- ∣ ∣ A − 1 − ( A + δ A ) − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ A − 1 δ A ∣ ∣ 1 − ∣ ∣ A − 1 δ A ∣ ∣ {\frac{||A^{-1}- (A+ \delta A)^{-1} ||{ }}{|| A^{-1} ||{ }} \le \frac{|| A^{-1} \delta A ||{ }}{1- || A^{-1} \delta A ||{ }}} ∣∣A−1∣∣∣∣A−1−(A+δA)−1∣∣≤1−∣∣A−1δA∣∣∣∣A−1δA∣∣ 矩阵扰动后逆矩阵的相对误差小于右端式子
定义 设 A ∈ C n n × n {A\in \mathbb C_n^{n \times n} } A∈Cnn×n 可逆， ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ { || \cdot ||{ }} ∣∣⋅∣∣ 是 C n × n { \mathbb C^{n \times n} } Cn×n 上的某一矩阵范数，称
cond ( A ) = ∣ ∣ A ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ \text{cond}(A)= || A ||{ } \cdot || A^{-1} ||_{ } cond(A)=∣∣A∣∣⋅∣∣A−1∣∣
为矩阵 A {A} A 的条件数。
推论 设 A ∈ C n n × n {A\in \mathbb C_n^{n \times n} } A∈Cnn×n 可逆， δ A ∈ C n × n { \delta A\in \mathbb C^{n \times n} } δA∈Cn×n 。若对 C n × n { \mathbb C^{n \times n} } Cn×n 上的某一矩阵范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ { || \cdot ||{ }} ∣∣⋅∣∣ 有 ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ δ A ∣ ∣ < 1 { || A^{-1}|| \cdot || \delta A ||{ }<1} ∣∣A−1∣∣⋅∣∣δA∣∣<1 ，则
∣ ∣ A − 1 − ( A + δ A ) − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ δ A ∣ ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 − ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ δ A ∣ ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ = cond ( A ) ∣ ∣ δ A ∣ ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 − cond ( A ) ∣ ∣ δ A ∣ ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ \frac{||A^{-1}- (A+ \delta A)^{-1} ||{ }}{|| A^{-1} ||{ }} \le \frac{|| A ||{ }|| A^{-1} ||{ }\frac{|| \delta A ||{ }}{|| A ||{ }}}{1-|| A ||{ }|| A^{-1} ||{ }\frac{|| \delta A ||{ }}{|| A ||{ }}}= \frac{\text{cond}(A) \frac{|| \delta A ||{ }}{|| A ||{ }}}{1-\text{cond}(A) \frac{|| \delta A ||{ }}{|| A ||{ }}} ∣∣A−1∣∣∣∣A−1−(A+δA)−1∣∣≤1−∣∣A∣∣∣∣A−1∣∣∣∣A∣∣∣∣δA∣∣∣∣A∣∣∣∣A−1∣∣∣∣A∣∣∣∣δA∣∣=1−cond(A)∣∣A∣∣∣∣δA∣∣cond(A)∣∣A∣∣∣∣δA∣∣
定理 设 A ∈ C n n × n {A\in \mathbb C_n^{n \times n} } A∈Cnn×n 可逆， δ A ∈ C n × n { \delta A\in \mathbb C^{n \times n} } δA∈Cn×n， b {b} b ， δ b ∈ C n { \delta b\in \mathbb C^n} δb∈Cn 。若对 C n × n { \mathbb C^{n \times n} } Cn×n 上的某一矩阵范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ { || \cdot ||{ }} ∣∣⋅∣∣ 有 ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ δ A ∣ ∣ < 1 { || A^{-1}|| \cdot || \delta A ||{ }<1} ∣∣A−1∣∣⋅∣∣δA∣∣<1 ，则非齐次线性方程组
A x = b 与 ( A + δ A ) ( x + δ x ) = b + δ b Ax=b \,\,\, 与 \,\,\, (A+ \delta A)(x+ \delta x)=b+ \delta b Ax=b与(A+δA)(x+δx)=b+δb
的解满足
∣ ∣ δ x ∣ ∣ v ∣ ∣ x ∣ ∣ v ≤ cond ( A ) 1 − cond ( A ) ∣ ∣ δ A ∣ ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ( ∣ ∣ δ A ∣ ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ + ∣ ∣ δ b ∣ ∣ v ∣ ∣ b ∣ ∣ v ) \frac{|| \delta x ||{ v}}{|| x ||{v }}\le \frac{\text{cond}(A) }{1-\text{cond}(A) \frac{|| \delta A ||{ }}{|| A ||{ }}} \bigg( \frac{|| \delta A ||{ }}{|| A ||{ }}+\frac{|| \delta b ||{ v}}{||b ||{ v}} \bigg) ∣∣x∣∣v∣∣δx∣∣v≤1−cond(A)∣∣A∣∣∣∣δA∣∣cond(A)(∣∣A∣∣∣∣δA∣∣+∣∣b∣∣v∣∣δb∣∣v)
其中 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v { || \cdot ||{v }} ∣∣⋅∣∣v 是 C n { \mathbb C^n} Cn 上与矩阵范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ { || \cdot ||{ }} ∣∣⋅∣∣ 相容的向量范数。
根据函数
f ( x ) = x 1 − x f(x)= \frac{x}{1-x} f(x)=1−xx
的图像，当 cond ( A ) { \text{cond}(A)} cond(A) 很大，则说求逆或求解线性方程组是病态的。