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题目背景
人工神经网络（Artificial Neural Network）是一种新兴的具有自我学习能力的计算系统，在模式识别、函数逼近及贷款风险评估等诸多领域有广泛的应用。对神经网络的研究一直是当今的热门方向，兰兰同学在自学了一本神经网络的入门书籍后，提出了一个简化模型，他希望你能帮助他用程序检验这个神经网络模型的实用性。
题目描述
在兰兰的模型中，神经网络就是一张有向图，图中的节点称为神经元，而且两个神经元之间至多有一条边相连，下图是一个神经元的例子：
神经元（编号为 i i i）
图中， X 1 ∼ X 3 X_1 \sim X_3 X1∼X3 是信息输入渠道， Y 1 ∼ Y 2 Y_1 \sim Y_2 Y1∼Y2 是信息输出渠道， C i C_i Ci 表示神经元目前的状态， U i U_i Ui 是阈值，可视为神经元的一个内在参数。
神经元按一定的顺序排列，构成整个神经网络。在兰兰的模型之中，神经网络中的神经元分为几层；称为输入层、输出层，和若干个中间层。每层神经元只向下一层的神经元输出信息，只从上一层神经元接受信息。下图是一个简单的三层神经网络的例子。
兰兰规定， C i C_i Ci 服从公式：（其中 n n n 是网络中所有神经元的数目）
C i = ( ∑ ( j , i ) ∈ E W j i C j ) − U i C_i=\left(\sum\limits_{(j,i) \in E} W_{ji}C_{j}\right)-U_{i} Ci= (j,i)∈E∑WjiCj −Ui
公式中的 W j i W_{ji} Wji（可能为负值）表示连接 j j j 号神经元和 i i i 号神经元的边的权值。当 C i C_i Ci 大于 0 0 0 时，该神经元处于兴奋状态，否则就处于平静状态。当神经元处于兴奋状态时，下一秒它会向其他神经元传送信号，信号的强度为 C i C_i Ci。
如此．在输入层神经元被激发之后，整个网络系统就在信息传输的推动下进行运作。现在，给定一个神经网络，及当前输入层神经元的状态（ C i C_i Ci），要求你的程序运算出最后网络输出层的状态。
输入格式
输入文件第一行是两个整数 n n n（ 1 ≤ n ≤ 100 1 \le n \le 100 1≤n≤100）和 p p p。接下来 n n n 行，每行 2 2 2 个整数，第 i + 1 i+1 i+1 行是神经元 i i i 最初状态和其阈值（ U i U_i Ui），非输入层的神经元开始时状态必然为 0 0 0。再下面 p p p 行，每行有两个整数 i , j i,j i,j 及一个整数 W i j W_{ij} Wij，表示连接神经元 i , j i,j i,j 的边权值为 W i j W_{ij} Wij。
输出格式
输出文件包含若干行，每行有 2 2 2 个整数，分别对应一个神经元的编号，及其最后的状态， 2 2 2 个整数间以空格分隔。仅输出最后状态大于 0 0 0 的输出层神经元状态，并且按照编号由小到大顺序输出。
若输出层的神经元最后状态均小于等于 0 0 0，则输出 NULL。
样例 #1
样例输入 #1
5 6
1 0
1 0
0 1
0 1
0 1
1 3 1
1 4 1
1 5 1
2 3 1
2 4 1
2 5 1
样例输出 #1
3 1
4 1
5 1
算法思想
根据题目描述，神经网络中的神经元分输入层、输出层，和若干个中间层。每层神经元只向下一层的神经元输出信息，只从上一层神经元接受信息。
要计算的神经元状态 C i = ( ∑ ( j , i ) ∈ E W j i C j ) − U i C_i=\left(\sum\limits_{(j,i) \in E} W_{ji}C_{j}\right)-U_{i} Ci=((j,i)∈E∑WjiCj)−Ui:
- W j i W_{ji} Wji表示连接 j j j 号神经元和 i i i 号神经元的边的权值
- C j C_j Cj表示与 i i i相连接的神经元状态。
要计算 C i C_i Ci，需要先计算所有 i i i相连接的（ j → i j\to i j→i）神经元状态 C j C_j Cj。也就是说，在神经元传递信息时需要按照拓扑序来计算。
因此，在求解状态之前需要先将神经元节点进行拓扑排序，得到拓扑序列，这一步可通过 bfs \text{bfs} bfs实现。之后就可以通过动态规划的思想求神经元的状态了。
状态表示
- f [ i ] f[i] f[i]表示编号为 i i i的神经元的状态
初始状态
根据题目描述，神经元的初始状态：
- 输入层神经元的状态（ C i C_i Ci）
- 非输入层的神经元开始时状态必然为 0 0 0
由于在计算状态 f ( i ) f(i) f(i)时需要减掉阈值 U i U_i Ui，不妨将所有非输入层的初始状态 − U i -U_i −Ui。
最终答案
最终仅输出最后状态大于 0 0 0 的输出层神经元状态；若输出层的神经元最后状态均小于等于 0 0 0，则输出 NULL。
状态计算
根据题目表述，当 C i C_i Ci 大于 0 0 0 时，该神经元处于兴奋状态，下一秒它会向其他神经元传送信号，信号的强度为 C i C_i Ci。因此：
- 当 f ( j ) > 0 f(j)>0 f(j)>0时， f [ i ] = ∑ w j i × f ( j ) f[i]=\sum w_{ji}\times f(j) f[i]=∑wji×f(j)
时间复杂度
- 拓扑排序的时间复杂度是线性的 O ( n ) O(n) O(n)
- 动态规划的状态数为 n n n，状态计算要遍历所有的邻边，时间复杂度为 O ( n + m ) O(n+m) O(n+m)
代码实现
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 110;
struct Edge
{
int v, w;
};
vector<Edge> g[N]; //邻接表
int n, m;
int f[N], u[N];
int din[N], dout[N]; //入度和出度
int q[N]; //拓扑序列
void topsort()
{
int hh = 0, tt = -1;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
if(din[i] == 0) q[++ tt] = i; //将所有入度为0的点加入拓扑序列
while(hh <= tt)
{
int u = q[hh ++];
for(auto e: g[u])
{
int v = e.v;
if(-- din[v] == 0) q[++ tt] = v; //入度减1，如果入度为0，将入拓扑序列
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
scanf("%d%d", &f[i], &u[i]);
if(f[i] == 0) //非输入层，提前减u[i]
f[i] -= u[i];
}
while(m --)
{
int u, v, w;
scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
g[u].push_back({v, w}); //有向边
din[v] ++, dout[u] ++;
}
topsort(); //拓扑排序
//状态计算，枚举拓扑序列
for(int k = 0; k < n; k ++)
{
int j = q[k];
if(f[j] > 0) //当状态大于0，神经元处于兴奋状态
{
for(auto e : g[j]) //枚举相邻点
{
int i = e.v, w = e.w;
f[i] += w * f[j];
}
}
}
int cnt = 0;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
if(dout[i] == 0 && f[i] > 0) //输出层，并且神经元处于兴奋状态
{
printf("%d %d\n", i, f[i]);
cnt ++;
}
}
if(cnt == 0) puts("NULL");
return 0;
}