傅里叶变换去除图像噪声（横纹）
在图像处理领域，噪声的存在通常会降低图像质量，影响视觉效果和后续处理效果。傅里叶变换作为一种强大的数学工具，被广泛应用于图像处理中，特别是在噪声去除方面表现出色。本文将展示如何利用C++、Python中的Opencv来进行傅里叶变换去除图像噪声。
一、傅里叶变换
傅里叶变换是一种将时域（或空间域）信号转换为频域信号的方法。在图像处理中，这意味着将图像从其空间表现（像素值）转换为表征图像中不同频率成分的频谱（P1到P2）。傅里叶变换能够揭示图像中的周期性和非周期性结构。
二、傅里叶变换图像去噪原理
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噪声的频率特性：
- 噪声可以分为高频噪声 和低频噪声。
- 高频噪声表现为图像中的尖锐、突然变化，例如盐和胡椒噪声（图像中随机分布的黑白像素点）。
- 低频噪声表现为图像中的缓慢、渐变变化，例如高斯噪声（最常见的噪声类型，其幅度分布符合高斯分布（正态分布）。高斯噪声在自然和工业环境中普遍存在）。
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噪声在频域中的表现：
在进行傅里叶变换时，不同类型的噪声会在频域中以不同的方式表现。高频噪声会在频谱的高频区域中显现，而低频噪声则主要分布在低频区域。
低频区域-P2中心区域：
- 低频区域包含了图像的主要信息，如整体结构和形状。
- 在傅里叶变换的频谱图中，低频成分通常位于频谱的中心区域。
- 低频区域代表图像中的缓慢变化部分，如渐变的背景或平滑的颜色过渡。
高频区域-p2周边区域：
- 高频区域包含了图像的细节信息，如边缘、纹理和噪声。
- 在傅里叶变换的频谱图中，高频成分通常位于频谱的边缘区域。
- 高频区域代表图像中的快速变化部分，如锐利的边缘、精细的纹理或噪声。
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去噪方法：
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低通滤波器：保留图像中的低频成分（中心区域），同时滤除高频成分。应用低通滤波器处理图像，通常会得到一幅更加平滑且略显模糊的效果。这是因为图像中的高频细节，诸如尖锐边缘和细微纹理，被有效移除。低通滤波处理赋予图像以柔和、均匀的视觉感受，适合于减少图像噪点和平滑处理。
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高通滤波器：保留图像的高频成分（周围区域），同时去除低频部分。当对图像施加高通滤波处理时，往往会显著增强图像的细节和边缘。这种处理方式使图像看起来更为清晰和锐利。但是也会增加图像的噪声，特别是在图像的高对比度区域。
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带阻滤波器：根据图像来设计和应用滤波，阻止（滤除）特定频率范围内的信号，同时允许其他频率的信号通过。这种滤波器在去除不需要的频率成分（例如噪声或干扰）时特别有用。（P3就是掩膜，黑色部分为修改像素值，白色部分不变）。
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实施步骤：
- 将图像进行傅里叶变换，转换到频域。
- 应用滤波器去除噪声。
- 执行逆傅里叶变换，将处理后的图像还原到空间域。
三、代码展示
分析噪声和频谱图可以发现 横纹部分是 在X=0，Y轴 的有规律的间隔白点，所以建立掩膜将其覆盖。即可去除噪声
代码运行结果如上图所示。
python
import numpy as np
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
# 读取图像 - 以灰度模式读取原始图像和C++处理的结果图像
original_img = cv2.imread("D:/fft/img.png", 0)
cpp_result_img = cv2.imread("D:/fft/Reconstructed_Image.jpg", 0)
# 将原始图像转换为浮点型，以便进行傅里叶变换
img_float32 = np.float32(original_img)
# 执行傅里叶变换，并获取复数输出
dft_complex_output = cv2.dft(img_float32, flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
# 将傅里叶变换的结果中心化
dft_shifted = np.fft.fftshift(dft_complex_output)
# 计算幅度
magnitude_spectrum = cv2.magnitude(dft_shifted[:,:,0], dft_shifted[:,:,1])
# 对数变换以增强可视化效果
magnitude_spectrum = np.log(magnitude_spectrum + 1)
# 归一化到 [0,255] 范围
magnitude_spectrum = cv2.normalize(magnitude_spectrum, None, 0, 255, cv2.NORM_MINMAX)
magnitude_spectrum = np.uint8(magnitude_spectrum)
# 创建带阻滤波器掩膜
rows, cols = original_img.shape
crows, ccol = int(rows/2), int(cols/2)
high_pass_mask = np.ones((rows, cols, 2), dtype=np.uint8)
high_pass_mask[27:33, ccol-8:ccol+8] = 0
high_pass_mask[57:63, ccol-8:ccol+8] = 0
high_pass_mask[91:97, ccol-8:ccol+8] = 0
high_pass_mask[156:162, ccol-8:ccol+8] = 0
high_pass_mask[187:193, ccol-8:ccol+8] = 0
high_pass_mask[219:225, ccol-8:ccol+8] = 0
# 应用掩膜到傅里叶变换结果
fshift = dft_shifted * high_pass_mask
# 逆傅里叶变换
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
magnitude_spectrum_result = cv2.magnitude(f_ishift[:,:,0], f_ishift[:,:,1])
# 对数变换以增强可视化效果
magnitude_spectrum_result = np.log(magnitude_spectrum_result + 1)
# 归一化到 [0,255] 范围
magnitude_spectrum_normalized = cv2.normalize(magnitude_spectrum_result , None, 0, 255, cv2.NORM_MINMAX)
magnitude_spectrum_normalized = np.uint8(magnitude_spectrum_normalized )
img_back = cv2.idft(f_ishift)
# 将复数转换回实数
img_back_magnitude = cv2.magnitude(img_back[:,:,0], img_back[:,:,1])
# 归一化图像到 [0,255] 范围
img_back_normalized = cv2.normalize(img_back_magnitude, None, 0, 255, cv2.NORM_MINMAX)
img_back_normalized = np.uint8(img_back_normalized )
# 使用Matplotlib显示所有图像
plt.figure(figsize=(16, 16))
plt.subplot(2, 3, 1), plt.imshow(original_img, cmap='gray'), plt.title('P1 Original Image')
plt.subplot(2, 3, 2), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray'), plt.title('P2 Original Magnitude Spectrum')
plt.subplot(2, 3, 3), plt.imshow(high_pass_mask[:,:,0], cmap='gray'), plt.title('P3 High Pass Filter Mask')
plt.subplot(2, 3, 4), plt.imshow(magnitude_spectrum_result, cmap='gray'), plt.title('P4 Filtered Magnitude Spectrum')
plt.subplot(2, 3, 5), plt.imshow(cpp_result_img, cmap='gray'), plt.title('P5 Filtered Image (C++)')
plt.subplot(2, 3, 6), plt.imshow(img_back_normalized, cmap='gray'), plt.title('P6 Filtered Image(Python)')
plt.show()
c++
#include <opencv2/opencv.hpp>
using namespace cv;
using namespace std;
int main() {
// 读取图像
Mat img = imread("D:/fft/img.png", IMREAD_GRAYSCALE);
Mat img1 = imread("D:/fft/processed_and_resized_img.png", IMREAD_GRAYSCALE);
// 傅里叶变换
Mat planes[] = {Mat_<float>(img), Mat::zeros(img.size(), CV_32F)};
Mat complexImg;
merge(planes, 2, complexImg);
dft(complexImg, complexImg);
// 中心化
int cx = complexImg.cols / 2;
int cy = complexImg.rows / 2;
Mat q0(complexImg, Rect(0, 0, cx, cy));
Mat q1(complexImg, Rect(cx, 0, cx, cy));
Mat q2(complexImg, Rect(0, cy, cx, cy));
Mat q3(complexImg, Rect(cx, cy, cx, cy));
Mat tmp;
q0.copyTo(tmp);
q3.copyTo(q0);
tmp.copyTo(q3);
q1.copyTo(tmp);
q2.copyTo(q1);
tmp.copyTo(q2);
// 计算幅度
split(complexImg, planes);
magnitude(planes[0], planes[1], planes[0]);
Mat mag = planes[0];
// 对数变换
mag += Scalar::all(1);
log(mag, mag);
// 归一化
normalize(mag, mag, 0, 255, NORM_MINMAX);
convertScaleAbs(mag, mag);
// 创建高通滤波器掩膜
Mat mask = Mat::ones(mag.size(), CV_32F);
int x=cx-6;
int width=16;
int height=8;
mask(Rect(x, 27, width, height)) = 0;
mask(Rect(x, 57, width, height)) = 0;
mask(Rect(x, 91, width, height)) = 0;
mask(Rect(x, 156,width, height)) = 0;
mask(Rect(x, 187,width, height)) = 0;
mask(Rect(x, 219,width, height)) = 0;
Mat visualizedMask;
normalize(mask, visualizedMask, 0, 255, NORM_MINMAX);
visualizedMask.convertTo(visualizedMask, CV_8U);
// 应用掩膜到傅里叶变换结果
Mat toMerge[] = {mask, mask};
Mat complexMask;
merge(toMerge, 2, complexMask);
mulSpectrums(complexImg, complexMask, complexImg, 0);
// 逆傅里叶变换
idft(complexImg, complexImg);
// 将复数转换回实数
split(complexImg, planes);
magnitude(planes[0], planes[1], planes[0]);
// 归一化图像到 [0,255] 范围
normalize(planes[0], planes[0], 0, 255, NORM_MINMAX);
convertScaleAbs(planes[0], planes[0]);
imshow("Original Image", img);
imshow("Spectrum", mag);
imshow("Visualized Mask", visualizedMask);
imshow("Reconstructed Image", planes[0]);
cv::imwrite("Reconstructed_Image.jpg", planes[0]);
waitKey();
return 0;
}