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[1. 易想的朴素搜索 / dp](#1. 易想的朴素搜索 / dp)
[2. 思考与优化](#2. 思考与优化)
一、设想功能描述
想法缘起
- OSM 导出的地图数据中有 "amenity"（便民设施）点，并在
<tag k="amenity" v="..."/>中标记了每个 amenity 的具体类型，比如：fast_food,pub,toilets......
-
而人们在路途或旅途中，常常关注最近的某种类型（常为 amenity，如卫生间、停车车场）的最近处，而尚未明确目的地。从而容易想到去设计一个扩展功能：++给定 amenity，查询距离当前点最近的该类的点++ 。显然，这个问题仍用 Dijkstra 求单源最短路即可。
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然而，有时人们想连续去多个 便民点，比如：先去停车场停车再去吃饭，最后逛逛周边的公园等等。++为了提高效率与体验，很可能需要一个总路程最短的方案++，这就是该 "扩展功能" 考虑的问题。
目标功能
★ 用户给定当前位置，并指定一个 amenity 种类的顺序。求出最短路线，并呈现在地图上。
二、问题抽象
地图上有某些点带有颜色 。给出起点 s 与颜色序列 
，尽可能快地 求出一条以 s 为起点的最短路线 
，要求其依次经过 颜色为 
的点。
存在数据约束与特征：
，其中 
为 
颜色点集，此外，各种颜色的点大致均匀分布。
三、算法设计和优化
1. 易想的朴素搜索 / dp
搜索想法
直接以每个 
为阶段，进行深度优先搜索（DFS），这部分时间复杂度已经有 
，虽然可以进行剪枝，即当前搜素的长度 cur 超过搜到的最短长度 res，就直接 return，但光这样时间复杂度不变的。
动态规划（dp）想法
以每个 为阶段设计 dp，易得状态转移方程类似如下形式：
然而，显然其时间复杂度是同搜索的，而且还很难剪枝，所以比搜索更差。
++此外，还要计算中间相邻颜色两点的最短路，从而全求出来的时间复杂度应比上面更大，空间复杂度亦大。++
2. 思考与优化
直观地，最终答案的路线几乎不可能 "兜得很远"，这启发我们优化搜索顺序 。对于每个 
，我们考虑先走到离最近的 
搜索下去 ，回溯后再搜次近的 
......可以想象这样搜出来的前几条路已经得到或较接近最终答案。进一步来看，又因为各种颜色的点大致均匀分布，所以这样的剪枝效果一定是非常显著的。
不过，如何求出搜 
的顺序？其实我们完全不必先预处理出最短路然后排序 。注意到 Dijkstra 的最短路算法就是按照距离由到达的顺序得到 "确定点" 的。所以，我们把 Dijkstra 算法 "嵌入" 搜索框架 之中，从当前 做 Dijkstra，遍历到一个下一颜色的 
，我们就从 
递归进行搜索。这样相当于又解决了花大代价计算最短路的问题。
总之，本问题基于搜索的大框架，而其内部融入 Dijkstra，每个结点处的下一个点通过 Dijkstra 确定，当前搜索路上的每个点都保留了一个 Dijkstra 状态。
四、算法实现
关键在于构建搜索的代码，尤其是解决 "每一层" 都在做 Dijkstra 带来的问题。
原始 Dijkstra 只有一个答案数组 d[MAXN] ，这里我们显然需要多个，不过我们若开 n 个这样的数组，内存开销较大，且可能不易扩展。注意到 {d[u], u} 保留在原始 Dijkstra 的 std::priority_queue 中，我们可以用 std::set 代替这个 std::priority_queue ，既可以取出最小值，又存下来当前有用的 {d[u], u} 且能 std::find 得到 {d[v], v}，而 vis 数组可用 std::unordered_set 代替。
这样，我们相当于仅在搜索路上开 C++ 的容器，空间开销显著减小而并未增大过多增加时间常数，且易于扩展。
cpp
void DFS(int s, int x, double cur) {
if (x == Ord.size()) { // ... }
set<pair<double, int>> d; d.insert({0.0, s});
unordered_set<int> vis;
while (d.size()) {
int u = d.begin()->second;
double dis = d.begin()->first;
if (cur + dis > ans) return;
d.erase(d.begin());
if (vis.find(u) != vis.end()) continue;
vis.insert(u);
auto itt = M.p[u].Ames.find(Ord[x]);
if (itt != M.p[u].Ames.end()) {
curOrd.push_back(u);
DFS(u, x+1, cur+dis);
curOrd.pop_back();
}
for (int e = M.head[u]; e; e = M.nxt[e]) {
// ...
auto it = d.upper_bound({-1.0, v});
if (it==d.end() || it->second!=v || dis+w<it->first) d.insert({dis+w, v});
}
}
}五、结果示例
- n=6：起点在徐家汇一带，（较为随意地）指定下面 6 个 Amenity Type 的顺序：
附：使用的地图API
基于 Leaflet.js 库的 Python 交互式地图包 Folium