【算法】BFS算法解决多源最短路问题（C++）

文章目录

前言
- [那么什么是单源最短路 / 多源最短路呢？](#那么什么是单源最短路 / 多源最短路呢？)
- 如何解决此类题？
算法题

前言

此前我们对单源最短路问题进行的讲解：

使用bfs算法解决单源最短路问题

那么什么是单源最短路 / 多源最短路呢？

画图来说，单源最短路问题即为：

而对于多源最短路问题:

如何解决此类题？

自然是利用BFS算法解决，下面提出解法：

解法一

解法二

当我们将所有的源点作为一个源点来进行解题时，问题又变成了单源最短路问题，而为什么可以认为这种解法是正确的呢?

感性的理解：对于上图的ABC三点，显然A点到目标点的距离更远，当我们将其作为一个点时，A点就会被直接排除，此时该特殊源点实际上就是最近的源点的合并。

对于解法二，如何编写代码？

我们对于单源最短路问题的bfs解法为：

将起始点加入到队列中，再进行一层一层的扩展

自然，对于多源最短路的bfs解法为：

将所有的起始点加入到队列中，再进行一层一层的扩展

算法题

542.01矩阵

思路

题意分析：题目要求返回一个数组，该数组的每一位都是矩阵中当前位置到最近的0的距离。这个数组我们叫做dist数组，下面多道题都会用上，
解法一 ：对每个位置都进行扩展
解法二： bfs + 正难则反 + dist数组
- 正难则反：将思维逆转！我们以0作为起点，对矩阵进行扩容
- dist数组 ：也是结果数组，开始初始化为-1，对于dist[i][j]：
  - dist[i][j] == -1：未被检索过
  - dist[i][j] != -1：该位置到0的最短距离
1. 将矩阵的所有起始点0的位置加入矩阵
2. 根据下图的思路，每次对队列中的元素进行扩展

代码

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int dx[4] = {0, 0, -1, 1};
    int dy[4] = {-1, 1, 0 ,0};
    vector<vector<int>> updateMatrix(vector<vector<int>>& mat) {
        int m = mat.size(), n = mat[0].size();
        vector<vector<int>> dist(m, vector<int>(n, -1)); // 将dist数组元素初始化为-1(未检索的状态)
        queue<pair<int, int>> q;
        // 正难则反：以矩阵中的0作为起点进行扩展
        // 将所有起始点入队
        for(int i = 0; i < m; ++i)
            for(int j = 0; j < n; ++j)
                if(mat[i][j] == 0)
                {
                    q.push({i, j});
                    dist[i][j] = 0;
                }

        // 对队列中的元素进行拓展
        while(q.size())
        {
            auto [a, b] = q.front();    q.pop();
            for(int i = 0; i < 4; ++i)
            {
                int x = dx[i] + a, y = dy[i] + b;
                if((x >= 0 && x < m) && (y >= 0 && y < n) && dist[x][y] == -1)
                {
                    dist[x][y] = dist[a][b] + 1;
                    q.push({x, y});
                }
            }
        }
        return dist;
    }
};

1020.飞地的数量

思路

题意分析：题目要求返回无法离开水域的陆地单元格个数，即在边界内且被水域完全包裹的单元格。
解法： bfs + 正难则反
- 正难则反：我们以四边的1为起点，向内扩展
- 多源bfs：将四边的1作为起点入队，将相连接的陆地单元格标记
- 最后遍历visited数组，统计结果

代码

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int dx[4] = {0, 0, -1, 1};
    int dy[4] = {-1, 1, 0, 0};

    int numEnclaves(vector<vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        // 将visited数组元素初始化为0
        vector<vector<bool>> visited(m, vector<bool>(n, false));
        queue<pair<int, int>> q;
        // 正难则反：以边界的1为起始点，进行bfs
        // 1. 找到边界1，并扩展
        for(int i = 0; i < m; ++i)
            for(int j = 0; j < n; ++j)
                if(((i == 0 || i == m-1) || (j == 0 || j == n-1)) && grid[i][j] == 1)
                {
                    q.push({i, j});
                    visited[i][j] = true;
                }

        // 2. 多源bfs
        while(q.size())
        {
            auto [a, b] = q.front(); q.pop();
            for(int i = 0; i < 4; ++i)
            {
                int x = a + dx[i], y = b + dy[i];
                if((x >= 0 && x < m) && (y >= 0 && y < n) && !visited[x][y] && grid[x][y])
                {
                    q.push({x, y});
                    visited[x][y] = true;
                }
            }
        }

        // 3. 提取结果
        int ret = 0;
        for(int i = 0; i < m; ++i)
            for(int j = 0; j < n; ++j)
                if(!visited[i][j] && grid[i][j])
                    ++ret;

        return ret;
    }
};

1765.地图中的最高点

思路

题意分析：题目给出一个矩阵，1为水域，0为陆地，要求我们自行安排陆地高度，使矩阵的最高高度最大（相邻单元格高度差 <= 1）
解法： bfs + dist数组
思路：
1. 首先创建dist数组，原理与第一题01矩阵一样，将矩阵中所有水域的位置在dist中初始化为0，并插入到队列中。
2. 由于要求矩阵的最高高度最大，我们在设计高度时自然要将高度差都设为最大值，即1
3. 随后进行多源bfs的操作，综上我们发现，这道题理清思路后，代码方面和"01矩阵"完全一致

代码

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int dx[4] = {0, 0, -1, 1};
    int dy[4] = {-1, 1, 0, 0};

    vector<vector<int>> highestPeak(vector<vector<int>>& isWater) {
        // 思路同 "10矩阵"
        int m = isWater.size(), n = isWater[0].size();
        vector<vector<int>> dist(m, vector<int>(n, -1));
        queue<pair<int, int>> q;

        // 1.对水域进行扩展
        for(int i = 0; i < m; ++i)
            for(int j = 0; j < n; ++j)
                if(isWater[i][j] == 1) // 1是水域
                {
                    q.push({i, j});
                    dist[i][j] = 0;
                }

        // 2.
        while(q.size())
        {
            auto [a, b] = q.front();    q.pop();
            for(int i = 0; i < 4; ++i)
            {
                int x = a + dx[i], y = b + dy[i];
                if((x >= 0 && x < m) && (y >= 0 && y < n) && dist[x][y] == -1)
                {
                    q.push({x, y});
                    dist[x][y] = dist[a][b] + 1;
                }
            }
        }

        return dist;
    }
};

1162.地图分析

思路

题意分析 ：题目要求找到离陆地最远的海洋单元格的曼哈顿距离，曼哈顿距离简单解释为：
解法思路 ： bfs + 正难则反 + dist数组
- 正难则反：题目要求找海洋到陆地的最大距离，我们以陆地单元格作为起始点，向内扩展
- 同样的思路，我们首先遍历数组，将陆地单元格位置存入到队列中，并标记dist的位置
- 后执行多源bfs的代码思路即可

代码

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int dx[4] = {0, 0, -1, 1};
    int dy[4] = {-1, 1, 0, 0};
    int maxDistance(vector<vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        // 正难则反：以1为起点，向内扩展并标记
        vector<vector<int>> dist(m, vector<int>(n, -1));
        queue<pair<int, int>> q;
        // 1. 根据单元格1向内扩展
        for(int i = 0; i < m; ++i)
            for(int j = 0; j < n; ++j)
                if(grid[i][j] == 1)
                {
                    q.push({i, j});
                    dist[i][j] = 0;
                }

        // 2. 多源bfs
        int ret = -1; // 统计结果
        while(q.size())
        {
            auto [a, b] = q.front();    q.pop();
            for(int i = 0; i < 4; ++i)
            {
                int x = a + dx[i], y = b + dy[i];
                if((x >= 0 && x < m) && (y >= 0 && y < n) && dist[x][y] == -1)
                {
                    q.push({x, y});
                    dist[x][y] = dist[a][b] + 1;
                    ret = max(ret, dist[x][y]);
                }
            }
        }

        return ret;
    }
};