【算法】约数个数（数论）

题目

给定 n 个正整数 ai，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 109+7 取模。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。

输出格式

输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 109+7 取模。

数据范围

1≤n≤100

1≤ai≤2×1e9

输入样例：

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输出样例：

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思路

首先，输入n表示接下来要输入的数的个数。然后使用unordered_map来记录每个质因子以及其出现的次数。接下来，通过循环输入每个数x，并使用一个嵌套循环找出x的所有质因子，同时统计它们出现的次数，并将结果存储在primes中。最后，遍历primes中的每个质因子及其次数，计算约数个数的乘积并输出结果。

代码段1

这段代码的作用是将一个数拆分为它的质因子，并统计每个质因子出现的次数。

首先，从2开始遍历到sqrt(x)，判断是否为x的质因子。如果当前数i是x的质因子，就不断除以i，并统计i出现的次数。通过循环while (x % i == 0)，如果x能整除i，则x除以i，并将i的次数增加1。

最后，如果x大于1，说明x本身就是一个质数，将其加入primes中，并将其次数增加1。

这样，经过这段代码的处理，primes中存储了输入数的所有质因子以及它们出现的次数。

代码段2

在计算约数个数时，我们需要考虑每个质因子出现的次数。对于一个质因子p，它可以出现0次、1次、2次、...、p.second次，共有**(p.second + 1)**种选择。

例如，假设一个数的质因子分别为2、3、5，对应的次数分别为2、1、3。那么这个数的约数个数就是(2+1)*(1+1)*(3+1)=24个。其中，每个质因子的次数加1是为了包括不选择该质因子的情况。

因此，在这段代码中，遍历primes中的每个质因子及其次数时，将每个质因子的次数加1，并累乘到变量res中，用于计算约数个数的乘积。最后输出res即为约数个数的结果。

代码

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
#include <vector>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 110, mod = 1e9 + 7;

int main()
{
    int n;
    cin >> n; // 输入n，表示接下来要输入的数的个数

    unordered_map<int, int> primes; // 用unordered_map记录每个质因子以及其出现的次数

    while (n--)
    {
        int x;
        cin >> x; // 输入一个数x

        for (int i = 2; i <= x / i; i++) // 从2开始遍历到sqrt(x)，判断是否为x的质因子
            while (x % i == 0) // 若i是x的质因子，则不断除以i，并统计i出现的次数
            {
                x /= i;
                primes[i]++;
            }

        if (x > 1) primes[x]++; // 若x本身就是质数，则将其加入primes中
    }

    LL res = 1; // 计算约数个数时的结果
    for (auto p : primes) res = res * (p.second + 1) % mod; // 遍历primes中的每个质因子及其次数，计算约数个数的乘积
    cout << res << endl; // 输出约数个数的结果

    return 0;
}

题目来自：870. 约数个数 - AcWing题库