二分算法01

[1. H指数II](#1. H指数II)
[2. 使结果不超过阈值的最小除数](#2. 使结果不超过阈值的最小除数)
[3. 完成旅途的最少时间](#3. 完成旅途的最少时间)

1. H指数II

给你一个整数数组 citations ，其中 citations $i$ 表示研究者的第 i 篇论文被引用的次数，citations 已经按照升序排列。计算并返回该研究者的 h 指数。

h 指数的定义：h 代表"高引用次数"（high citations），一名科研人员的 h 指数是指他（她）的（n 篇论文中）至少有 h 篇论文分别被引用了至少 h 次。

请你设计并实现对数时间复杂度的算法解决此问题。

真题点击此处：275. H 指数 II

解题方法：二分查找

思路：由于数组 citations 已经按照升序排序，并且查找的范围小于数组的长度，因此可以使用二分查找。

设查找范围的初始左边界 left 为 0, 初始右边界 right 为 n−1，其中 n 为数组 citations 的长度。每次在查找范围内取中点 mid，则有 n−mid篇论文被引用了至少 citations $mid$ 次。如果在查找过程中满足 citations $mid$ ≥n−mid，则移动右边界 right，否则移动左边界 left。

以下为代码实现：

python 复制代码

class Solution:
    def hIndex(self, citations: List[int]) -> int:
        left, right = 0, len(citations) - 1
        n = len(citations)

        while left <= right:
            mid = (left + right)  // 2
            if citations[mid] >= n - mid:
                right = mid - 1
            else:
                left = mid + 1
            
        return n - left

时间复杂度：O（logn），使用了二分算法来查找数据。

空间复杂度：O（1），只使用了额外的常量级空间。

2. 使结果不超过阈值的最小除数

给你一个整数数组 nums 和一个正整数 threshold ，你需要选择一个正整数作为除数，然后将数组里每个数都除以它，并对除法结果求和。

请你找出能够使上述结果小于等于阈值 threshold 的除数中最小的那个。

每个数除以除数后都向上取整，比方说 7/3 = 3 ， 10/2 = 5 。

题目保证一定有解。

真题点击此处：1283. 使结果不超过阈值的最小除数

解题方法：二分查找

思路：

1.初始化左边界 left 为1，右边界 right 为列表 nums 中的最大值。

2.进入循环，当 left 小于等于 right 时进行迭代：

计算中间值 mid，为 left 和 right 的平均值。
初始化变量 ans 为0，用于计算将列表中的所有数除以 mid 后的结果总和。
遍历列表 nums，对每个数执行以下操作：
- 将当前数加上 mid-1 后再除以 mid，得到向上取整的结果，并累加到 ans 中。
判断 ans 是否小于等于阈值 threshold：
- 如果是，说明当前 mid 可能是一个解，将右边界 right 更新为 mid-1。
- 如果不是，说明当前 mid 不满足条件，将左边界 left 更新为 mid+1。

3.循环结束后，返回左边界 left。

以下为代码实现：

python 复制代码

class Solution:
    def smallestDivisor(self, nums: List[int], threshold: int) -> int:
        left, right = 1, max(nums)

        while left <= right:
            mid = (left + right) // 2
            ans = 0
            for num in nums:
                ans += (num + mid - 1) // mid
            if ans <= threshold:
                right = mid - 1
            else:
                left = mid + 1

        return left

时间复杂度：O(Nlog⁡C)，其中 C是一个常数，为二分查找的上下限之差。在本题给定的数据范围的限制下，C 不会超过 10^6 。

空间复杂度：O（1）。

3. 完成旅途的最少时间

给你一个数组 time ，其中 time $i$ 表示第 i 辆公交车完成一趟旅途所需要花费的时间。

每辆公交车可以连续完成多趟旅途，也就是说，一辆公交车当前旅途完成后，可以立马开始下一趟旅途。每辆公交车独立运行，也就是说可以同时有多辆公交车在运行且互不影响。

给你一个整数 totalTrips ，表示所有公交车总共需要完成的旅途数目。请你返回完成至少 totalTrips 趟旅途需要花费的最少时间。

真题点击此处：2187. 完成旅途的最少时间

解题方法：二分查找

思路：

1.初始化左边界 left 为1，右边界 right 为t * totalTrips（因为最大值的时间不可能超过最小时间 * 旅途的趟数）。

2.进入循环，当 left 小于等于 right 时进行迭代：

计算中间值 mid，为 left 和 right 的平均值。
初始化变量 ans 为0，用于计算在 mid 时间内完成任务的总次数。
遍历列表 time，对每个时间执行以下操作：
- 将 mid 除以当前时间得到的商累加到 ans 中，表示在 mid 时间内完成当前任务的次数。
判断 ans 是否小于总任务数 totalTrips：
- 如果是，说明当前 mid 时间不足以完成所有任务，将左边界 left 更新为 mid+1。
- 如果不是，说明当前 mid 时间足以完成所有任务，将右边界 right 更新为 mid-1。

3.循环结束后，返回左边界 left。

以下为代码实现：

python 复制代码

class Solution:
    def minimumTime(self, time: List[int], totalTrips: int) -> int:
        t = min(time)
        left, right = 1, t * totalTrips

        while left <= right:
            mid = (left + right) // 2
            ans = 0
            for t in time:
                ans += mid // t
            if ans < totalTrips:
                left = mid + 1
            else:
                right = mid - 1

        return left

时间复杂度：O(Nlog⁡C)，其中 C是一个常数，为二分查找的上下限之差。

空间复杂度：O（1）。