备战蓝桥杯---图论之最小生成树

首先，什么是最小生成树？

他就是无向图G中的所有生成树中树枝权值总和最小的。

如何求？

我们不妨采用以下的贪心策略：

Prim算法（复杂度：（n+m)logm)：

我们对于把上述的点看成两个集合，一个是确定了最小生成树的点，一个还没有确定，我们只要不断把距离已经确定的集合的最短的边添加进去即可。假如我们加的距离不是最小的，那么当我们假设未确定的点已经构成了他们点的最小生成树，那么我们此时用距离最小的去添加他们肯定更优。（我们对于那先未确定的点的集合，不管用什么边去联系他们任何一个点，都不会影响他们以后的最小生成树的形状，这也是贪心当前最优解可以推出全局最优解的保证）

来道模板题：

因为传递消息，至少连n-1条边，又要距离min，相当于求最小生成树，下面是AC代码（我们可以优化一下，对于还未拿出的边，若有一个比他长的则不放入队列）：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,head[100010],a,b,v,cnt,sum;
struct node{
    int len,dian,next;
}edge[1000005];
void addedge(int x,int y,int v){
    edge[++cnt].len=v;
    edge[cnt].dian=y;
    edge[cnt].next=head[x];
    head[x]=cnt;
}
int dis[100010];
struct ty{
    int bian,name;
    bool operator<(const ty &a) const{
        return bian>a.bian;
    }
};
bool vis[1000001];
priority_queue<ty> q;
int prim(){
    q.push({0,1});
    while(!q.empty()){
        ty ck=q.top();
        q.pop();
        if(vis[ck.name]==1) continue;
        vis[ck.name]=1;
        sum+=ck.bian;
        for(int i=head[ck.name];i!=-1;i=edge[i].next){
            if(vis[edge[i].dian]==1) continue;
            if(dis[edge[i].dian]<=edge[i].len) continue;
            dis[edge[i].dian]=edge[i].len;
            q.push({edge[i].len,edge[i].dian});
        }
    }
    return sum;
}
int main(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&v);
        addedge(a,b,v);
        addedge(b,a,v);
    }
    cout<<prim();
}

Kruskal算法(复杂度：mlogm)：

还是采取贪心策略，只不过这次是直接选所有边下的最短边，若他们连起来还是树，就连起来，反之舍弃，用并查集维护即可。

首先，我们注意到如果每一次都可以选min的n-1条边就是最优的情况。

但是，在实际上，可能边会在同一个并查集中，说明这条边可以发挥构成树的作用，当时已经存在一点，他的作用是一样的，但是它的距离更小，因此更优。换句话说，我们就是在选n-1个在构建生成树的发挥不同作用的边，而之所以要放弃，是因为功能的重叠。

综上，这样选取的策略最优。

下面给出AC代码：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,fa[100010],a,b,v,cnt,sum;
struct node{
    int len,x,y;
}edge[1000005];
bool cmp(node a,node b){
    return a.len<b.len;
}
int find(int x){
    if(fa[x]==x) return x;
    else return fa[x]=find(fa[x]);
}
void merge(int x,int y){
    fa[find(x)]=find(y);
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&v);
        edge[++cnt].x=a;
        edge[cnt].y=b;
        edge[cnt].len=v;
    }
    sort(edge+1,edge+1+m,cmp);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int xx=find(edge[i].x);
        int yy=find(edge[i].y);
        if(xx==yy) continue;
        sum+=edge[i].len;
        merge(xx,yy);
    }
    cout<<sum;
}