动态规划part17
647. 回文子串
动态规划解决的经典题目，如果没接触过的话，别硬想 直接看题解。
题目链接：647. 回文子串
文章/视频讲解：647. 回文子串
解题思路
动态规划解法
- dp数组及其下标的含义
布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。 - 确定递推公式
在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。
整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。
当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。
当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况
情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。
- dp数组如何初始化
dp[i][j]初始化为false。
- 确定遍历顺序
从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
中心拓展法
长度为n的字符串会生成 2n-1 组回文中心[li, ri]，其中li = i/2，ri = li + i mod 2。这样我们只要从0到 2n - 2遍历 i，就可以得到所有可能的回文中心，这样就把奇数长度和偶数长度两种情况统一起来了。
为什么是2n-1个中心点？
如果回文串是奇数，我们把回文串中心的那个字符叫做中心点，如果回文串是偶数我们就把中间的那两个字符叫做中心点。
对于一个长度为n的字符串，我们可以用它的任意一个字符当做中心点，所以中心点的个数是n。我们还可以用它任意挨着的两个字符当做中心点，所以中心点是n-1，总的中心点就是2*n-1。
java
// 动态规划
class Solution {
public int countSubstrings(String s) {
char[] chars = s.toCharArray();
int len = chars.length;
boolean[][] dp = new boolean[len][len];
int result = 0;
for(int i = len - 1; i >= 0; i--){
for(int j = i; j < len; j++){
if(chars[i] == chars[j]){
if(j - i <= 1){ // 情况1和2
result++;
dp[i][j] = true;
}else if(dp[i + 1][j - 1] == true){ // 情况3
result++;
dp[i][j] = true;
}
}
}
}
return result;
}
}
java
// 中心拓展法
class Solution {
public int countSubstrings(String s) {
int n = s.length(), ans = 0;
for (int i = 0; i < 2 * n - 1; ++i) {
int l = i / 2, r = i / 2 + i % 2;
while (l >= 0 && r < n && s.charAt(l) == s.charAt(r)) {
--l;
++r;
++ans;
}
}
return ans;
}
}516.最长回文子序列
647. 回文子串，求的是回文子串，而本题要求的是回文子序列， 大家要搞清楚两者之间的区别。题目链接：516.最长回文子序列
文章/视频讲解：516.最长回文子序列
解题思路
动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。 - 确定递推公式
在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。
如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2
如果s[i]与s[j]不相同 ，dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); - dp数组如何初始化
dp[i][i] = 1; - 确定遍历顺序
i从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。
j从左向右遍历
java
// 动态规划
class Solution {
public int longestPalindromeSubseq(String s) {
int len = s.length();
int[][] dp = new int[len][len];
for(int i = len - 1; i >= 0; i--){
dp[i][i] = 1;
for(int j = i + 1; j < len; j++){
if(s.charAt(i) == s.charAt(j)){
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
}else{
dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j],dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[0][len - 1];
}
}