LeetCode 2834.找出美丽数组的最小和：数学（等差数列求和）——O(1)的做法

【LetMeFly】2834.找出美丽数组的最小和：数学（等差数列求和）------O(1)的做法

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/find-the-minimum-possible-sum-of-a-beautiful-array/

给你两个正整数：n 和 target 。

如果数组 nums 满足下述条件，则称其为 美丽数组 。

nums.length == n.
nums 由两两互不相同的正整数组成。
在范围 [0, n-1] 内，不存在 两个不同下标 i 和 j ，使得 nums[i] + nums[j] == target 。

返回符合条件的美丽数组所可能具备的最小和，并对结果进行取模 10^9^ + 7。

示例 1：

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输入：n = 2, target = 3
输出：4
解释：nums = [1,3] 是美丽数组。
- nums 的长度为 n = 2 。
- nums 由两两互不相同的正整数组成。
- 不存在两个不同下标 i 和 j ，使得 nums[i] + nums[j] == 3 。
可以证明 4 是符合条件的美丽数组所可能具备的最小和。

示例 2：

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输入：n = 3, target = 3
输出：8
解释：
nums = [1,3,4] 是美丽数组。 
- nums 的长度为 n = 3 。 
- nums 由两两互不相同的正整数组成。 
- 不存在两个不同下标 i 和 j ，使得 nums[i] + nums[j] == 3 。
可以证明 8 是符合条件的美丽数组所可能具备的最小和。

示例 3：

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输入：n = 1, target = 1
输出：1
解释：nums = [1] 是美丽数组。

提示：

1 <= n <= 10^9^
1 <= target <= 10^9^

方法一：数学（等差数列求和）------O(1)的做法

n n n个不同的正整数，任意两数之和不为 t a r g e t target target，问这些数的最小和为多少。

怎么构造这个数组？当然是每个元素越小越好。那就从 0 , 1 , 2 , ⋯ 0,1,2,\cdots 0,1,2,⋯开始呗。

这样最多能到几？最多能到 ⌊ t a r g e t 2 ⌋ \lfloor\frac{target}2\rfloor ⌊2target⌋。
原理（可跳过）

在 ≤ t a r g e t \le target ≤target的数当中，存在 a a a则不能存在 t a r g e t − a target-a target−a。

例如 t a r g e t = 5 target=5 target=5时， 1 1 1和 4 4 4不能同时存在。选哪个？もちろん选 4 4 4。

如果这些数不够 n n n个咋办？那就从 t a r g e t target target开始依次往上选就好了。 t a r g e t , t a r g e t + 1 , t a r g e t + 2 , ⋯ target, target + 1, target + 2, \cdots target,target+1,target+2,⋯，直到选够为止。

又有等差数列 a , a + 1 , a + 2 , ⋯ , b a, a + 1, a + 2, \cdots, b a,a+1,a+2,⋯,b的和为 ( a + b ) × ( b − a + 1 ) 2 \frac{(a + b)\times(b - a + 1)}2 2(a+b)×(b−a+1)，因此可以在 O ( 1 ) O(1) O(1)的时空复杂度内得出结果。

时间复杂度 O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)
空间复杂度 O ( N log ⁡ N ) O(N\log N) O(NlogN)

AC代码

C++

cpp 复制代码

const int MOD = 1e9 + 7;
class Solution {  // AC,14.77%,62.50%
private:
    inline long long cal(long long l, long long r) {
        return (l + r) * (r - l + 1) / 2;
    }
public:
    int minimumPossibleSum(int n, int target) {
        long long half = target / 2;
        if (n <= half) {
            return cal(1, n);
        }
        return (cal(1, half) + cal(target, target + n - half - 1)) % MOD;
    }
};

Python

python 复制代码

MOD = int(1e9) + 7
class Solution:
    def cal(self, l: int, r: int) -> int:
        return (l + r) * (r - l + 1) // 2

    def minimumPossibleSum(self, n: int, target: int) -> int:
        half = target >> 1
        if n <= half:
            return self.cal(1, n)
        return (self.cal(1, half) + self.cal(target, target + n - half - 1)) % MOD

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Tisfy：https://letmefly.blog.csdn.net/article/details/136565723