递归算法c++

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算法概述：递归算法是一种直接或者间接调用自身函数或者方法的算法。说简单了就是程序自身的调用。

算法实质：递归算法就是将原问题不断分解为规模缩小的子问题，然后递归调用方法来表示问题的解。（用同一个方法去解决规模不同的问题）

算法思想：递归算法，顾名思义就是有两个大的阶段：递和归，即就是有去（递去）有回（归来）。

算法设计要素：

• 明确递归的终止条件
• 提取重复的逻辑，缩小问题的规模不断递去
• 给出递归终止时的处理办法

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·例题1：简单累和

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int get_sum(int n) {
  if (n == 1) {
    return 1;
  }
  return get_sum(n - 1) + n;
}
int main() {
  int n;
  cin >> n;
  cout << "Sum=" << get_sum(n) << endl;

  return 0;
}

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·例题2：设有n个数已经按从小到大的顺序排列，现在输入x，判断它是否在这n个数中，如果存在则输出"YES"，否则输出"NO"

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[101], k;
void search(int a[], int left, int right) {
	if(left<right){
	int mid = (left + right) / 2;
	if (a[mid] == k) { cout << "YES"; return; }
	else if (k < a[mid]) { search(a, mid + 1, right); }
	else{ search(a, left, mid); }
	}
	else {
		cout << "NO" << endl;
	}
}
int main() {
	int n;
	cin >> n >> k;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
	}
	search(a, 1, n);
	return 0;
}

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·例题3：Hanoi汉诺塔问题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void move(char pos1, char pos2) {
	printf("%c-->%c", pos1, pos2);
}
void Hanoi(int n, char pos1, char pos2, char pos3) {
	if (n == 1) {
		move(pos1, pos3);
		cout << "\n";
	}
	else {
		Hanoi(n - 1, pos1, pos3, pos2);
		move(pos1, pos3);
		cout << "\n";
		Hanoi(n - 1, pos2, pos1, pos3);
	}

}
int main() {
	int n;
	cin >> n;
	Hanoi(n, 'A', 'B', 'C');

	return 0;
}

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·例题4：斐波那契数列

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f(int n) {
	if (n == 1 || n == 2) { return 1; }
	else {
		return (f(n - 1) + f(n - 2));
	}
}
int main() {
	int n;
	cin >> n;
	cout << f(n);

	return 0;
}

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·例题五：集合的划分

描述

设S是一个具有n个元素的集合，S＝〈a1，a2，......，an〉，现将S划分成 k 个满足下列条件的子集合S1，S2，......，Sk，且满足：

1．Si≠∅

2.Si∩Sj＝∅ ( 1≤i，j≤k，i≠j )

3．S1∪S2∪S3∪...∪Sk＝S

则称S1，S2，......，Sk是集合S的一个划分。它相当于把S集合中的n个元素a1，a2，......，an放入k个(0＜k≤n＜30)无标号的盒子中，使得没有一个盒子为空。请你确定n个元素a1，a2，......，an 放入k个无标号盒子中去的划分数S(n,k)。

【输入】

给出n和k。

【输出】

n个元素a1，a2，......，an 放入k个无标号盒子中去的划分数S(n,k)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int S(int n, int k) {
	if (n < k || k == 0) { return 0; }
	if (k == 1 || k == n) { return 1; }

return (S(n - 1, k - 1) + k * S(n - 1, k));
}int main() {
	int n, k;
	cin >> n >> k;
	cout << S(n, k);
	return 0;
}

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·例题六：数的计数

描述

我们要求找出具有下列性质数的个数（包括输入的自然数n）。先输入一个自然数n(n≤1000)，然后对此自然数按照如下方法进行处理：

不作任何处理；

在它的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过原数的一半；

加上数后，继续按此规则进行处理，直到不能再加自然数为止。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans;
void f(int n) {
	ans++;
	for (int i = 1; i <= n/2; i++) {
		f(i);
	}
}
int main() {
	int n;
	cin >> n;
	f(n);
	cout << ans;
	return 0;
}

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习题：

全排列

给定一个由不同的小写字母组成的字符串，输出这个字符串的所有全排列。

我们假设对于小写字母有'a' <'b' < ... <'y'<'z'，而且给定的字符串中的字母已经按照从小到大的顺序排列。

【输入】

只有一行，是一个由不同的小写字母组成的字符串，已知字符串的长度在1到6之间。

【输出】

输出这个字符串的所有排列方式，每行一个排列。要求字母序比较小的排列在前面。字母序如下定义：

已知S=s1s2...sk,T=t1t2...tkS=s1s2...sk,T=t1t2...tk，则S<T等价于，存在p(1<=p<=k)，使得s1=t1,s2=t2,...,sp−1=tp−1,sp<tps1=t1,s2=t2,...,sp−1=tp−1,sp<tp成立。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char a[10], ans[10];
bool v[10];
int len;
void f(int pos) {
	if (pos == len) { 
		for (int i = 0; i < len; i++) {
			cout << ans[i];
		}
		cout << endl;
		return; }
	else {
		for (int i = 0; i < len; i++) {
			if(v[i]==0){
				v[i] = 1;
				ans[pos] = a[i];
				f(pos + 1);
				v[i] = 0;
			}
		}

	}
}
int main() {
	cin >> a;
	len = strlen(a);
	f(0);
	return 0;
}

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分解因数

题目描述】给出一个正整数aa，要求分解成若干个正整数的乘积，即a=a1×a2×a3×...×an，并且1<a1≤a2≤a3≤...≤an，问这样的分解的种数有多少。注意到a=a也是一种分解。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a,n,ans;
void f(int a, int k) {
	if (k >= a) { return; }
	for (int i = k; i <= a / i; i++) {
		if (a % i == 0) {
			ans++;
			f(a / i, i);
		}
	}
}
int main() {
	cin>> n;
	//n代表测试组数
	while (n--) {
		cin >> a;
		ans = 1;
		f(a, 2);
		cout << ans << endl;
	}

	return 0;
}

pell数列

【题目描述】

Pell数列a1,a2,a3,...的定义是这样的，a1=1,a2=2,...,an=2an−1+an−2(n>2)。

给出一个正整数 k，要求Pell数列的第 k项模上 32767

是多少。

【输入】

第1行是测试数据的组数 n，后面跟着 n行输入。每组测试数据占 1行，包括一个正整数k(1≤k<1000000)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int pell(long long  n) {
	if (n == 1) { return 1; }
	if (n == 2) { return 2; }
	return (2 * pell(n - 1) + pell(n - 2));
}
int main() {
	int n;
	cin >> n;
	while(n--){
	int k;
	cin >> k;
	cout << pell(k) % 32767 << endl;}
	return 0;
}

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爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int palouti(int n) {
	if (n == 1) { return 1; }
	if (n == 2) { return 2; }
	return palouti(n - 1) + palouti(n - 2);

}
int main() {
	int n;
	while (cin >> n) {
		cout << palouti(n) << endl;
	}
	return 0;
}

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放苹果

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

【输入】

第一行是测试数据的数目t（0<=t<=20）。以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。

【输出】

对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。

/*
递归边界：盘子数目和苹果数目相同||盘子数目就一个
第一种情况：盘子数目比苹果数目多-->多出来的盘子数无用
第一种可转换为第二种
第二种情况：苹果数目大于等于盘子数目-->也分为两种情况：有盘子空余和无盘子空余
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int apple, plate;
int f(int apple, int plate) {
	if (apple == 0|| plate == 1) { return 1; }
	if (plate > apple) { return f(apple, apple); }
	if (apple >= plate) {
		return f(apple, plate - 1) + f(apple - plate, plate);

	}
}
int main() {
	cin >> apple >> plate;
	cout<<f(apple, plate);
	return 0;
}

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求最大公约数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
	return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
int main() {
	int a, b;
	cin >> a >> b;
	cout << gcd(a, b);
	return 0;
}

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2的幂次方表示

任何一个正整数都可以用2的幂次方表示。例如：

137=27+23+20

同时约定方次用括号来表示，即ab可表示为a(b)。由此可知，137可表示为：

2(7)+2(3)+2(0)

进一步：7=22+2+20（21用2表示）

3=2+20

所以最后137可表示为：

2(2(2)+2+2(0))+2(2+2(0))+2(0)

又如：

1315=210+28+25+2+1

所以1315最后可表示为：

2(2(2+2(0))+2)+2(2(2+2(0)))+2(2(2)+2(0))+2+2(0）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void f(int n) {
	int c = 0;
	while (pow(2, c)<=n) {
		c++;
	}
	c--;
	if (c == 0) {
		cout << "2(" << c << ")";
	}else if (c == 1) {
		cout << "2(" << c << ")";
	}else {
		cout << "2(";
		f(c);
		cout<< ")";
	}
	int other = n - pow(2, c);
	if (other) {
		cout << "+";
		f(other);
	}

}
int main() {
	int num;
	cin >> num;
	f(num);

}

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分数求和

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int n, int m) {
	return m == 0 ? n : gcd(m, n % m);
}
int main() {
	int a, b, c, d, e, f, n;
	scanf_s("%d%d/%d", &n, &a, &b);
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		scanf_s("%d/%d", &c, &d);
		e = (b * d) / gcd(b, d);
		a *= e / b;  b = e;
		a += c * (e / d);
	}
	int k = gcd(a, b);
	if (a % k == 0) {
		printf("%d/%d", a / k, b / k);
	}
	else {
		printf("%d/%d", a, b);
	}
	return 0;
}

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因子分解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void fact(int n, int a) {
	int b = 0;
	while (n == 0 || a > n) {
		return;
	}
	while (n % a == 0) {
		b++;
		n /= a;
	}
	if (b >= 1) {
		if (b == 1) {
			printf("%d", a);
		}
		else {
			printf("%d^%d", a, b);
		}
		if (n > a) {
		cout << "*";
	}
	}
	
	fact(n , a + 1);
}
int  main() {
	int n;
	cin >> n;
	fact(n,2);

}