算法学习——LeetCode力扣动态规划篇1（509. 斐波那契数、70. 爬楼梯、746. 使用最小花费爬楼梯、62. 不同路径、63. 不同路径 II）

算法学习------LeetCode力扣动态规划篇1

509. 斐波那契数

509. 斐波那契数 - 力扣（LeetCode）

描述

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

示例

示例 1：

输入：n = 2

输出：1

解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

输入：n = 3

输出：2

解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：

输入：n = 4

输出：3

解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

提示：

0 <= n <= 30

代码解析

迭代法

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n <=1 ) return n;
        int pre0 = 0 , pre1 = 1;
        int num = n-2;

        while(num--)
        {
            int tmp = pre0 + pre1;
            pre0 = pre1;
            pre1 = tmp; 
        }

        return pre0+pre1;
    }
};

动态规划（DP）

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if( n<=1 ) return n;
        vector<int> dp(n+1);
        dp[0]=0;
        dp[1]=1;

        for(int i = 2 ; i<dp.size();i++)
        {
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }

        return dp[n];
    }
};

70. 爬楼梯

70. 爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例

示例 1：

输入：n = 2

输出：2

解释：有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3

输出：3

解释：有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示

1 <= n <= 45

代码解析

动态规划

爬到第一层楼梯有一种方法，爬到二层楼梯有两种方法。
那么第一层楼梯再跨两步就到第三层 ，第二层楼梯再跨一步就到第三层。
所以到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯 和 到第一层楼梯状态推导出来，那么就可以想到动态规划了。

我们来分析一下，动规五部曲：

定义一个一维数组来记录不同楼层的状态

确定dp数组以及下标的含义

dpi： 爬到第i层楼梯，有dpi种方法

从dpi的定义可以看出，dpi 可以有两个方向推出来。

首先是dpi - 1，上i-1层楼梯，有dpi - 1种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dpi了么。

还有就是dpi - 2，上i-2层楼梯，有dpi - 2种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dpi了么。

那么dpi就是 dpi - 1与dpi - 2之和！

所以dpi = dpi - 1 + dpi - 2 。

我相信dp1 = 1，dp2 = 2，这个初始化大家应该都没有争议的。

所以我的原则是：不考虑dp0如果初始化，只初始化dp1 = 1，dp2 = 2，然后从i = 3开始递推，这样才符合dpi的定义。

确定遍历顺序

从递推公式dpi = dpi - 1 + dpi - 2;中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(n<=2) return n;
        vector<int> dp(n+1);
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;

        for(int i=3 ;i<dp.size() ; i++)
        {
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]; 
        }
        return dp[n];

    }
};

完全背包

可以转换为完全背包，求排序数的问题

目标值就是楼梯的高度n，价值就是步子的高度1，2

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {

        vector<int> step = {1,2};
        vector<int> dp(n+1,0);
       
        dp[0]  = 1;
        //求排序数，先遍历背包，后遍历价值
        for(int j=0 ; j<=n  ;j++)
        {
            for(int i=0 ; i<step.size();i++)
            {
                if(j>=step[i])
                {
                    dp[j] += dp[j-step[i]];
                }
                else dp[j] = dp[j];
            }
                
        }
        return dp[n];
    }
};

746. 使用最小花费爬楼梯

746. 使用最小花费爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

描述

给你一个整数数组 cost ，其中 costi 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例

示例 1：

输入：cost = 10,15,20

输出：15

解释：你将从下标为 1 的台阶开始。

• 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
  总花费为 15 。

示例 2：

输入：cost = 1,100,1,1,1,100,1,1,100,1

输出：6

解释：你将从下标为 0 的台阶开始。

• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
  总花费为 6 。

提示

2 <= cost.length <= 1000

0 <= costi <= 999

代码解析

花最少的钱爬到楼顶

cost是在每一阶台阶，往上走的成本。

dpi的定义：到达第i个台阶所花费的最少体力为dpi。
可以有两个途径得到dpi，一个是dpi-1 一个是dpi-2。因为最多走两步

即从 i-1台阶，花费cost(i-1) 到 i ；和 i-2台阶，花费cost(i-2) 到 i

dp数组如何初始化

dpi由dpi-1，dpi-2推出，既然初始化所有的dpi是不可能的，那么只初始化dp0和dp1就够了，其他的最终都是dp0dp1推出。

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
       
        vector<int> dp(cost.size()+1); //要到楼顶，要比台阶数多一个
        dp[0] = 0; //从初始到第0个台阶，和第1个台阶花钱
        dp[1] = 0;
        for(int i=2 ; i<dp.size() ; i++) //从第二个台阶开始计算最小的成本
        {
            dp[i] = min(dp[i-2]+cost[i-2] , dp[i-1]+cost[i-1]);
        }
        return dp[cost.size()]; //到比台阶多一级，即到楼顶的最小成本
    }
};

62. 不同路径

62. 不同路径 - 力扣（LeetCode）

描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 "Start" ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 "Finish" ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例

示例 1：

输入：m = 3, n = 7

输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2

输出：3

解释：

从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3

输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3

输出：6

提示

1 <= m, n <= 100

题目数据保证答案小于等于 2 * 109

代码解析

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
       
        if(m <= 1 || n<=1) return 1;
        vector<vector<int>> dp( m+1 , vector<int>(n+1,0));

        dp[1][1] = 1;
        dp[1][2] = 1;
        dp[2][1] = 1;

        for(int i=1 ; i<=m ; i++)
        {
            for(int j=1 ; j<=n ; j++)
            {   
                if(dp[i][j] != 0 ) continue;
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
                // cout<<"i:"<<i<<" j:"<<j<<"   dp:"<<dp[i][j]<<endl;
            }
        }

        return dp[m][n];
    }
};

63. 不同路径 II

63. 不同路径 II - 力扣（LeetCode）

描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 "Start" ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 "Finish"）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例

示例 1：

输入：obstacleGrid = \[0,0,0,0,1,0,0,0,0]

输出：2

解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。

从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：

1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2：

输入：obstacleGrid = \[0,1,0,0]

输出：1

提示

m == obstacleGrid.length

n == obstacleGridi.length

1 <= m, n <= 100

obstacleGridij 为 0 或 1

代码解析

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        vector<vector<int>> 
        dp(obstacleGrid.size() , vector<int>(obstacleGrid[0].size() , 0));
        
        for(int i=0 ; i<obstacleGrid.size() ; i++)
        {
            for(int j=0 ; j<obstacleGrid[0].size() ;j++)
            {
                if(obstacleGrid[i][j] == 1) continue; //遇到障碍物绕开
                if(i==0 && j==0) dp[0][0] = 1; //起始点
                else if(i==0) dp[i][j] =  dp[i][j-1]; //最边行
                else if(j==0) dp[i][j] =  dp[i-1][j]; //最边列
                else dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]; 
            }
        }
        return dp[obstacleGrid.size()-1][obstacleGrid[0].size()-1];
    }
};