算法学习------LeetCode力扣动态规划篇1
509. 斐波那契数
描述
斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给定 n ，请计算 F(n) 。
示例
示例 1：
输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
示例 2：
输入：n = 3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
示例 3：
输入：n = 4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3
提示：
0 <= n <= 30
代码解析
迭代法
cpp
class Solution {
public:
int fib(int n) {
if(n <=1 ) return n;
int pre0 = 0 , pre1 = 1;
int num = n-2;
while(num--)
{
int tmp = pre0 + pre1;
pre0 = pre1;
pre1 = tmp;
}
return pre0+pre1;
}
};动态规划（DP）
cpp
class Solution {
public:
int fib(int n) {
if( n<=1 ) return n;
vector<int> dp(n+1);
dp[0]=0;
dp[1]=1;
for(int i = 2 ; i<dp.size();i++)
{
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
}
return dp[n];
}
};70. 爬楼梯
描述
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
示例
示例 1：
输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶
- 2 阶
示例 2：
输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
- 1 阶 + 2 阶
- 2 阶 + 1 阶
提示
1 <= n <= 45
代码解析
动态规划
爬到第一层楼梯有一种方法，爬到二层楼梯有两种方法。
那么第一层楼梯再跨两步就到第三层 ，第二层楼梯再跨一步就到第三层。
所以到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯 和 到第一层楼梯状态推导出来，那么就可以想到动态规划了。
我们来分析一下，动规五部曲：
定义一个一维数组来记录不同楼层的状态
确定dp数组以及下标的含义
dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法
从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来。
首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。
还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。
那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！
所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。
我相信dp[1] = 1，dp[2] = 2，这个初始化大家应该都没有争议的。
所以我的原则是：不考虑dp[0]如果初始化，只初始化dp[1] = 1，dp[2] = 2，然后从i = 3开始递推，这样才符合dp[i]的定义。
确定遍历顺序
从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的
cpp
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
if(n<=2) return n;
vector<int> dp(n+1);
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
for(int i=3 ;i<dp.size() ; i++)
{
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
}
return dp[n];
}
};完全背包
可以转换为完全背包，求排序数的问题
目标值就是楼梯的高度n，价值就是步子的高度1，2
cpp
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
vector<int> step = {1,2};
vector<int> dp(n+1,0);
dp[0] = 1;
//求排序数，先遍历背包，后遍历价值
for(int j=0 ; j<=n ;j++)
{
for(int i=0 ; i<step.size();i++)
{
if(j>=step[i])
{
dp[j] += dp[j-step[i]];
}
else dp[j] = dp[j];
}
}
return dp[n];
}
};746. 使用最小花费爬楼梯
描述
给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。
你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。
示例
示例 1：
输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。
- 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 15 。
示例 2：
输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出：6
解释：你将从下标为 0 的台阶开始。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 6 。
提示
2 <= cost.length <= 1000
0 <= cost[i] <= 999
代码解析
花最少的钱爬到楼顶
cost是在每一阶台阶，往上走的成本。
dp[i]的定义：到达第i个台阶所花费的最少体力为dp[i]。
可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。因为最多走两步
即从 i-1台阶，花费cost(i-1) 到 i ；和 i-2台阶，花费cost(i-2) 到 i
dp数组如何初始化
dp[i]由dp[i-1]，dp[i-2]推出，既然初始化所有的dp[i]是不可能的，那么只初始化dp[0]和dp[1]就够了，其他的最终都是dp[0]dp[1]推出。
cpp
class Solution {
public:
int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
vector<int> dp(cost.size()+1); //要到楼顶，要比台阶数多一个
dp[0] = 0; //从初始到第0个台阶，和第1个台阶花钱
dp[1] = 0;
for(int i=2 ; i<dp.size() ; i++) //从第二个台阶开始计算最小的成本
{
dp[i] = min(dp[i-2]+cost[i-2] , dp[i-1]+cost[i-1]);
}
return dp[cost.size()]; //到比台阶多一级，即到楼顶的最小成本
}
};62. 不同路径
描述
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 "Start" ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 "Finish" ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例
示例 1：
输入：m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
- 向右 -> 向下 -> 向下
- 向下 -> 向下 -> 向右
- 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6
提示
1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 109
代码解析
cpp
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
if(m <= 1 || n<=1) return 1;
vector<vector<int>> dp( m+1 , vector<int>(n+1,0));
dp[1][1] = 1;
dp[1][2] = 1;
dp[2][1] = 1;
for(int i=1 ; i<=m ; i++)
{
for(int j=1 ; j<=n ; j++)
{
if(dp[i][j] != 0 ) continue;
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
// cout<<"i:"<<i<<" j:"<<j<<" dp:"<<dp[i][j]<<endl;
}
}
return dp[m][n];
}
};63. 不同路径 II
描述
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 "Start" ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 "Finish"）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
示例
示例 1：
输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
- 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
- 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2：
输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1
提示
m == obstacleGrid.length
n == obstacleGrid[i].length
1 <= m, n <= 100
obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1
代码解析
cpp
class Solution {
public:
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
vector<vector<int>>
dp(obstacleGrid.size() , vector<int>(obstacleGrid[0].size() , 0));
for(int i=0 ; i<obstacleGrid.size() ; i++)
{
for(int j=0 ; j<obstacleGrid[0].size() ;j++)
{
if(obstacleGrid[i][j] == 1) continue; //遇到障碍物绕开
if(i==0 && j==0) dp[0][0] = 1; //起始点
else if(i==0) dp[i][j] = dp[i][j-1]; //最边行
else if(j==0) dp[i][j] = dp[i-1][j]; //最边列
else dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
}
}
return dp[obstacleGrid.size()-1][obstacleGrid[0].size()-1];
}
};