[LeetCode][LCR187]破冰游戏——约瑟夫环

题目

LCR 187. 破冰游戏

社团共有 num 位成员参与破冰游戏，编号为 0 ~ num-1。成员们按照编号顺序围绕圆桌而坐。社长抽取一个数字 target，从 0 号成员起开始计数，排在第 target 位的成员离开圆桌，且成员离开后从下一个成员开始计数。请返回游戏结束时最后一位成员的编号。

• 示例 1：

输入：num = 7, target = 4

输出：1

• 示例 2：

输入：num = 12, target = 5

输出：0

• 提示：
  1 <= num <= 10^5
  1 <= target <= 10^6

思考

1. 就本题这个数量级，直接模拟肯定会超时，必有某种数学方式进行求解
2. 其实本题是著名的 "约瑟夫环" 问题，描述如下：

• 约瑟夫环（Josephus problem）最初的版本可以追溯到古代历史。这个问题据说最早出现在犹太历史学家弗拉维约斯·约瑟夫斯（Flavius Josephus）的著作《犹太古史》中。在这个传奇式的故事中，约瑟夫斯和他的40个士兵被罗马军队包围。他们决定宁可自杀也不被俘虏，于是他们决定围成一个圈，按照一定的规则自杀，以避免被捕。

• 问题的描述是：约瑟夫斯和他的士兵为了避免被俘，决定站在一个圆圈内，并且每次从一个人开始，依次数到第k个人，然后将被淘汰的人移出圆圈。那么最终存活下来的人是哪一个呢？

• 这个问题在数学和计算机科学领域中有很多变种和应用。常见的形式包括不同的起始位置和不同的淘汰间隔等。

解法

1. 首先设一共有 num 个人，每轮去掉一个人，最终剩下一个人，也就是进行了 num-1 轮

2. 游戏的关键不是每个人的编号，而是最终留下来的那个人在环中的位置

3. 可以一次次进行游戏去掉一个个人，如果反过来，也可以恢复去掉的人，从一个人恢复到 num 个人

4. 在只有一个人的情况下，解就是 0 号位置，也就是如果要把剩下的一个人也去掉，必然是去掉 0 号位置的人

5. 那么怎么从一个人恢复到 num 个人呢？我们需要得到每次被去掉的数的位置：

   1人->2人
   num-1 轮去掉的数的位置 =（0号位置 + 每次跳跃数 target）% 加入新的数后本轮剩下的人数
   num-1 轮去掉的数的位置=(0+target)%2

   2人->3人
   num-2 轮去掉的数的位置 =（num-1 轮去掉的数的位置 + 每次跳跃数 target）% 加入新的数后本轮剩下的人数
   num-2 轮去掉的数的位置=(num-1 轮去掉的数的位置+target)%3

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class Solution {
public:
    int iceBreakingGame(int num, int target) {
        // 每一次去除的人的位置 x
        // 在剩下一个人的情况下，
        // 这个位置是幸存者，
        // 也是下一轮剩0人的时候要去除的位置
        int x=0;
        for(int i=2; i<=num; ++i){
            x = (x+target)%i;
        }
        return x;
    }
};