从递归角度串联二叉树-图论-动态规划

一、深度理解二叉树的前中后序遍历

二叉树遍历框架如下：

cpp 复制代码

void traverse(TreeNode* root) {
    if (root == nullptr) {
        return;
    }
    // 前序位置
    traverse(root->left);
    // 中序位置
    traverse(root->right);
    // 后序位置
}

先不管所谓前中后序，单看 traverse 函数，你说它在做什么事情？

1.1 链表前后序

其实它就是一个能够遍历二叉树所有节点的一个函数，和你遍历数组或者链表本质上没有区别：

cpp 复制代码

//递归遍历单链表
void traverse(ListNode* head) {
    if (head == nullptr) {
        return;
    }
    //前序位置
    traverse(head -> next);
    //后序位置
}

所谓前序位置，就是刚进入一个节点（元素）的时候，后序位置就是即将离开一个节点（元素）的时候，如下图：

如果让你倒序打印一条单链表上所有节点的值，你怎么搞？

实现方式当然有很多，但如果你对递归的理解足够透彻，可以利用后序位置来操作：

cpp 复制代码

// 递归遍历单链表，倒序打印链表元素
void traverse(ListNode *head) {
    if (head == NULL) {
        return;
    }
    traverse(head->next);
    // 后序位置
    print(head->val);
}

1.2 二叉树前中后序

我们在递归遍历的二叉树中不同位置进行处理时，实际上就是在下面三个位置进行处理

反映到整颗树上，如下图：

同时我们要知道，二叉树在进行遍历时，处理流程如下：

1.2.1 前序

前序如下图：

由此我们可以看见，如果我们在前序位置进行处理（每个节点左侧），在第一次经过一个节点的时候就可以获取其信息，但无法用来获取子树信息，因此前序一般用来遍历

1.2.2 后序

后序如下图：

由此我们可以看见，如果我们在后序位置进行处理（每个节点右侧），那么当我们第一次处理一个节点的时候，其左右的子节点都被处理过了，也就是我们可以在后序获取子树的所有信息了

1.2.3 中序

中序主要和回溯有关，我们一般在中序处进行撤回

二、图论

图论中最重要的就是遍历，一般都是用到dfs进行回溯（bfs属于层序遍历，这里先不和为一谈）

回溯框架为：

cpp 复制代码

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }
 
    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        （选择是否处理）
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

为什么要在前序位置判断是否终止？

因为前序位置时是每一节点第一次到达的位置，在这里判断最省时间

一般以搜索为目的的dfs，都是从上往下思考，从根节点往下搜索，backtracking(路径，选择列表)中做的选择一般都是子节点

三、动态规划

为了方便对比，我们以记忆化搜索为主要研究对象

动态规划就是把大问题抽象为多个小问题，然后用选择连接多个小问题，如下图：

我们以下面一段动态规划代码进行解释：

由于我们的决策要在遍历完所有选择之后再做，因此我们在后序位置进行状态更新

在动态规划中，我们一般都是从下往上思考（上面这题除外，有些题也可以从上往下，只是说我们从下往上状态转移方程更好思考），每个dfs中做的选择一般都是上一层的节点