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学习引言
图论，是 C++ 里面很重要的一种算法，今天，就让我们一起来了解一下图论吧！
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什么是图
其实很简单，把点用边连起来就可以算是图。
从严格意义上来讲，图是一种数据结构，定义为：graph=(V,E)。其中，V 是一个非空有限集合，代表顶点（结点），E 代表边的集合。
图的一些定义和概念
- 有向图：图的边有方向，只能严格遵循箭头方向从一个点到达另一个点。例如下方就是一个有向图：
- 无向图：图的边有方向，可以双向行走。例如下方就是一个无向图：
- 结点的度：仅存在在无向图中。无向图中与一个结点相连的边的个数叫做这个结点的度。
- 结点的入度：仅存在在有向图中。有向图中以一个结点为终点的边的个数叫做这个结点的入度。
- 结点的出度：仅存在在有向图中。有向图中以一个结点起点的边的个数叫做这个结点的出度。
- 权值：边的"费用"，可以理解为边的长度。
- 连通：如果图中存在一条从结点 U U U 到结点 V V V 的道路，则称 U U U 和 V V V 是连通的。
- 回路：起点和终点为同一结点的路径叫做回路，或称为"环"。
- 完全图：一个有 n n n 个结点的有向图有 n × ( n − 1 ) n\times(n-1) n×(n−1) 条边或一个有 n n n 个结点的无向图有 n × ( n − 1 ) 2 \frac{n\times(n-1)}2 2n×(n−1) 条边。
- 稠密图：一个边数接近完全图的图。
- 稠密图：一个边数远远少于完全图的图。
- 强连通分量：有向图中任意两点都连通的最大子图。下图中的 1 1 1， 2 2 2， 5 5 5 结点就构成一个强连通分量。特殊的，单个点也算一个强连通分量。所以下图中有 3 3 3 个强连通分量： 1 − 2 − 5 1-2-5 1−2−5， 3 3 3， 4 4 4。
图的存储方式
这里只讲解最常见的邻接表和邻接矩阵。
二维数组邻接矩阵存储
定义 int 类型数组：G[100][100]（注：数组大小随结点的个数变化）。
G i , j G_{i,j} Gi,j 的值表示从点 i i i 到点 j j j 的权值，定义如下：
G i , j = { 1 或权值 v i 与 v j 之间有边或弧 0 或 ∞ v i 与 v j 之间无边且无弧 G_{i,j}=\begin{cases} 1\ \textrm{或权值}&v_i\ \textrm{与}\ v_j\ \textrm{之间有边或弧}\\ 0\ \textrm{或}\ \infty&v_i\ \textrm{与}\ v_j\ \textrm{之间无边且无弧} \end{cases} Gi,j={1 或权值0 或 ∞vi 与 vj 之间有边或弧vi 与 vj 之间无边且无弧
上面的 3 3 3 个图对应的邻接矩阵分别如下：
G ( A ) = [ 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 ] G ( B ) = [ 0 1 1 0 0 1 0 1 0 ] G ( C ) = [ ∞ 5 8 ∞ 3 5 ∞ 2 ∞ 6 8 2 ∞ 10 4 ∞ ∞ 10 ∞ 11 3 6 4 11 ∞ ] G(A)=\begin{bmatrix} 0&1&1&1\\ 1&0&1&1\\ 1&1&0&0\\ 1&1&0&0 \end{bmatrix}\qquad G(B)=\begin{bmatrix} 0&1&1\\ 0&0&1\\ 0&1&0 \end{bmatrix}\qquad G(C)=\begin{bmatrix} \infty&5&8&\infty&3\\ 5&\infty&2&\infty&6\\ 8&2&\infty&10&4\\ \infty&\infty&10&\infty&11\\ 3&6&4&11&\infty \end{bmatrix} G(A)= 0111101111001100 G(B)= 000101110 G(C)= ∞58∞35∞2∞682∞104∞∞10∞1136411∞
优缺点
优点：实现简单，使用方便，且容易获取每个结点的度（有向图是入度和出度），特别是有向图的出度，有手就会。
缺点：对于节点多，边数少的图来说，邻接矩阵存储很浪费空间。
以空间换时间。
数组模拟邻接表存储
图的邻接表存储法，又叫链式存储法。本来是采用链表实现的，但大多情况下只要用数组模拟即可。
优缺点
优点：随机数据下空间相对较小。
缺点：极限数据浪费空间大。
空间消耗不稳定。
边集数组优缺点
优点：更加的节约空间。
缺点：搜索时需要把所有的边枚举一遍，太浪费时间。
以时间换空间。
排序前向星优缺点
优点：更加的节约空间。
缺点：排序时间大。
以时间换空间。
链式前向星优缺点
优点：空间消耗少，速度也快。
缺点：暂无。