二叉树的进阶
二叉搜索树
概念
- 二叉搜索树：又称为二叉排序树或者二叉查找树，走中序遍历(左、根、右）打印二叉搜索树值为升序。
- 它可以空树。若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于它的根节点的值。若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于它的根节点的值。它的左右子树也分别为二叉搜索树。
操作实现
创建树形结构
cpp
template<class K>
struct BSTreeNode { //二叉树的节点
typedef BSTreeNode<K> Node;
Node* _left;
K _key;
Node* _right;
BSTreeNode(const K& key) //构造函数
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _key(key)
{}
};
template<class K>
class BSTree { //二叉树结构
private:
Node* _root = nullptr;
};拷贝构造函数
cpp
BSTree(const BSTree<K>& t) //拷贝构造函数也是构造函数，写了拷贝构造，相当于显示写了构造，不能调默认构造
{
/*Node* cur = t._root; 不能采用insert，因为cur不知道是往哪边走，走错了，树形结构会改变，不走，就死循环了
while (cur)
{
Insert(cur->_key);
}*/
_root = CopyNode(t._root); //后序拷贝节点进行赋值
}
Node* CopyNode(Node* root) //前序拷贝节点进行赋值
{
if (root == nullptr) //递归的结束条件，满足，就会回退
return nullptr;
Node* newnode = new Node(root->_key);
newnode->_left = CopyNode(root->_left); //递推
newnode->_right = CopyNode(root->_right);
return newnode;
}- 拷贝构造函数不显示写，内置类型为值拷贝，自定义类型会去调用它自己的拷贝构造函数，BSTreet2(t1)，不显示写拷贝构造，则t2和t1的_root指向同一块空间，若未显示写析构函数，程序不会崩溃，因为_root为Node*内置类型，最后由系统自动回收。若显示写析构函数，delete-》析构函数+free，会导致同一块空间被释放两次，造成程序崩溃。
- 此处不能调用insert函数，因为cur不知道该往哪边走，走右边，会导致树形结构发生改变，就不是二叉搜索树了，走左边，走到空的时候，无法回退到上一个节点的右边。
- 采用前序遍历(左、根、右），依次取t2对象中的节点，进行深拷贝。
构造函数
cpp
BSTree() = default; //强制生成默认构造- BSTree t，编译器会去调用它的默认构造函数，若显示写了构造函数，编译器就不会自动生成默认构造函数，会导致编译器报错。拷贝构造函数是特殊的构造函数。
- 注意：BSTree() = default，强制生成默认构造。
析构函数
cpp
~BSTree() //析构
{
Destroy(_root);
}
void Destroy(Node* root) //销毁树
{
if (root == nullptr)
return;
Destroy(root->_left); //后序遍历
Destroy(root->_right);
delete root;
root = nullptr;
}赋值运算符重载
cpp
BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t) //赋值运算符
{
std:: swap(_root, t._root);
return *this;
}循环版本
查找
cpp
//非递归版本
bool Find(const K& key) //查找
{
Node* cur = _root; //遍历二叉树
while (cur)
{
if (key > cur->_key) //查找的值比根节点值大，往右进行查找
cur = cur->_right;
else if (key < cur->_key) //查找的值比根节点值小，往左进行查找
cur = cur->_left;
else //查找到了
return true;
}
return false; //查找不到或者空树
}- a. 从根节点开始查找，比较，比根节点的值大，则往右边查找，比根节点的值小，则往左边查找，
- b.最多查找高度次。走到了空，这个值还没找到，这个值就不存在，则返回false。找到了就返回true。
插入
cpp
bool Insert(const K& key)
{
Node* parent = nullptr; //记录好新增节点在二叉树中的父节点
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_key) //查找的值比根节点值大，往右进行查找
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key) //查找的值比根节点值小，往左进行查找
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
return false; //二叉搜索数中不运行出现同值，否则构成不了二叉搜素树
}
//new:开空间+构造函数
cur = new Node(key); //创建新节点，但此时cur值为随机值，cur为局部遍历，出了作用域就被销毁，若之后没有处理cur，会造成内存泄漏
if (parent == nullptr) //空树
{
_root = cur;
return true;
}
if (parent->_key > key) //新节点的链接
parent->_left = cur;
else
parent->_right = cur;
return true;
}- a.树为空，直接将赋值给_root。
- b.树不为空，从根节点查找，比较，比根节点的值大，则往右边查找，比根节点的值小，则往左边查找，直到走到了空，在进行插入。
- 注意：此处需要记录插入节点在二叉搜索树的父节点，因为cur = new Node(key)，会改变cur的值，cur此时不在是二叉树中的节点，cur为局部变量，出了作用域要销毁，则cur指向的那块空间无法找到，会造成内存泄漏，所以需要将其与父节点进行链接。
删除
cpp
//叶子节点(无孩纸)、有一个孩纸---》将孩纸托付给父亲。 有两个孩纸-》替换法删除，找它的右子树的最左边节点值它的左节点一定为空）与它进行替换，转换成删别人
bool erase(const K& key) //删除
{
Node* parent = _root; //记录删除节点 或者 替换节点的父亲
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_key) //查找的值比根节点值大，往右进行查找
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key) //查找的值比根节点值小，往左进行查找
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else //找到了，进行删除
{
if (cur->_left == nullptr) //右边有一个孩纸
{
if (cur == _root) //删除根节点，需要换头
_root = cur->_right;
if (parent->_left == cur) //删除节点在根节点的左右子树，链接父节点的方式也不同
parent->_left = cur->_right;
else
parent->_right = cur->_right;
delete cur;
cur = nullptr;
return true;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
_root = cur->_left;
if (parent->_left == cur)
parent->_left = cur->_left;
else
parent->_right = cur->_left;
delete cur;
cur = nullptr;
return true;
}
else //左右有两个孩纸-》替换法删除，找它的右子树中最右节点(它的左节点一定为空）
{
Node* rightmin = cur->_right;
while (rightmin->_left)
rightmin = rightmin->_left;
cur->_key = rightmin->_key; //值进行替换
if (parent->_right == rightmin) //删除节点可能在不同边，与父亲链接的情况也不同
parent->_right = rightmin->_right;
else
parent->_left = rightmin->_right;
delete rightmin;
rightmin = nullptr;
return true;
}
}
}
return false;
}- a.删除的节点有三种情况：叶子节点(无孩纸）、有一个孩纸(只有左孩纸或者只有右孩纸）、有两个孩纸。
- b.叶子节点、有一个孩纸：将孩纸托付给父亲。
- c.有两个孩纸：替换法删除，找它的右子树的最左边节点(它的左树一定为空)的值与它进行替换，转换成删替换节点了。
特殊情况：1.无孩纸节点、只有一个孩纸节点：删除根节点，此时需要换头，让root的下一个孩纸的节点。 2.只有一个孩纸节点：将孩子托付给父亲，孩纸和父亲的左边或者右边链接都可能，要分类讨论删除的节点在父节点的哪边，删除节点在父节点的哪边，孩纸就链接到哪边 。 3.两个孩纸节点：找最右节点rightmin，rightmin右孩子与父节点的左边或者右边都可能链接，要分类讨论rightmin在父节点的哪边，rightmin在父节点的哪边，rightmin右孩子孩纸就链接到哪边。
递归版本
- 二叉搜索树的操作因为要从根开始操作，所以在调用递归函数时，就需传递_root，但在类外不能访问私有成员_root， 解决方法：a. 通过创造Node* Getroot()成员函数(public)返回root，类外根据返回值直接传参调用递归函数。 b. 将递归函数封装在无参成员函数(public)中，类外调用无参函数，从而间接调用递归函数。
查找
cpp
void FindR(const K& key)
{
_FindR(_root, key); //查找
}
bool _FindR(Node* root, const K& key)
{
if (root == nullptr) //查找不到 或 空树
return false;
if (key > root->_key) //查找的值比根节点值大，去右子树查找
return _FindR(root->_right);
else if (key < root->_key) //查找的值比根节点值小，去左子树查找
return _FindR(root->_left);
else //找到了
return true;
}
插入
cpp
bool _InsertR(Node*& root, const K& key)
{
if (root == nullptr) //进行插入
{
root = new Node(key); //因为root为父亲孩纸的别名，直接就将父亲和新节点链接起来了
return true;
}
if (key > root->_key) //查找的值比根节点值大，去右子树查找
return _InsertR(root->_right, key);
else if (key < root->_key) //查找的值比根节点值小，去左子树查找
return _InsertR(root->_left, key);
else //二叉搜索数中不运行出现同值，否则构成不了二叉搜素树
return false;
}
删除
cpp
bool _EraseR(Node*& root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
return false;
if (key > root->_key) //查找的值比根节点值大，去右子树查找
return _EraseR(root->_right, key);
else if (key < root->_key) //查找的值比根节点值小，去左子树查找
return _EraseR(root->_left, key);
else //找到了，进行删除
{
Node* del = root; //记录删除的节点，防止父子链接时，该节点会被丢失
if (root->_left == nullptr) //右边有一个孩纸
root = root->_right;
else if (root->_right == nullptr)
root = root->_left;
else //左右有两个孩纸-》替换法删除，找它的右子树中最右节点(它的左节点一定为空）
{
Node* rightmin = root->_right; //不能加引用，因为引用不能改变转向，否则会导致树的结构发生改变
while (rightmin->_left)
rightmin = rightmin->_left;
swap(root->_key, rightmin->_key); //值进行替换
return _EraseR(root->_right, key);
}
delete del;
del = nullptr;
return true;
}
}
应用
K模型
K模型：只有key作为关键码，结构中只需要存储Key。关键码即需要搜索key存不存在。
- eg：小区车库，搜索车牌是否存在于小区车库体系中，控制车的进出。判断单词是拼写正确，搜索单词是否存在于单词库中。
KV模型
KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的value，即<key, value>的键值对。
- eg：统计单词的个数，<word，count>。英汉词典，<English，chinese>。
- KV模型相比于K模型，只是在插入时多插入了value值，删除、查找都是对key进行操作，操作中的比较也是按key的值进行比较的。K模型类似于单身，KV模型类似于结婚。
cpp
#pragma once
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
template<class K, class V> //KV模型
struct BSTreeNode { //二叉树的节点
typedef BSTreeNode<K, V> Node;
Node* _left;
K _key;
V _value;
Node* _right;
BSTreeNode(const K& key,const V& value) //构造函数
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _key(key)
,_value(value)
{ }
};
template<class K, class V>
class BSTree { //二叉树结构
public:
typedef BSTreeNode<K, V> Node;
~BSTree() //析构
{
Destroy(_root);
}
BSTree() = default; //强制生成默认构造
BSTree(const BSTree<K, V>& t) //拷贝构造函数也是构造函数，写了拷贝构造，相当于显示写了构造，不能调默认构造
{
/*Node* cur = t._root; 不能采用insert，因为cur不知道是往哪边走，走错了，树形结构会改变，不走，就死循环了
while (cur)
{
Insert(cur->_key);
}*/
_root = CopyNode(t._root); //前序拷贝节点进行赋值
}
BSTree<K, V>& operator=(BSTree<K, V> t) //赋值运算符
{
std:: swap(_root, t._root);
return *this;
}
Node* Find(const K& key) //查找
{
Node* cur = _root; //遍历二叉树
while (cur)
{
if (key > cur->_key) //查找的值比根节点值大，往右进行查找
cur = cur->_right;
else if (key < cur->_key) //查找的值比根节点值小，往左进行查找
cur = cur->_left;
else //查找到了
return cur; //注意：返回节点的指针，目的---》通过key查找到value
}
return nullptr; //查找不到或者空树
}
bool Insert(const K& key, const V& value) //插入
{
Node* parent = nullptr; //记录好新增节点在二叉树中的父节点
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_key) //查找的值比根节点值大，往右进行查找
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key) //查找的值比根节点值小，往左进行查找
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
return false; //二叉搜索数中不运行出现同值，否则构成不了二叉搜素树
}
//new:开空间+构造函数
cur = new Node(key, value); //创建新节点，但此时cur值为随机值，cur为局部遍历，出了作用域就被销毁，若之后没有处理cur，会造成内存泄漏
if (parent == nullptr) //空树
{
_root = cur;
return true;
}
if (parent->_key > key) //新节点的链接
parent->_left = cur;
else
parent->_right = cur;
return true;
}
//叶子节点(无孩纸)、有一个孩纸---》将孩纸托付给父亲。 有两个孩纸-》替换法删除，找它的右子树的最左边节点值它的左节点一定为空）与它进行替换，转换成删别人
bool erase(const K& key) //删除
{
Node* parent = _root; //记录删除节点 或者 替换节点的父亲
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_key) //查找的值比根节点值大，往右进行查找
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key) //查找的值比根节点值小，往左进行查找
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else //找到了，进行删除
{
if (cur->_left == nullptr) //右边有一个孩纸
{
if (cur == _root) //删除根节点，需要换头
_root = cur->_right;
if (parent->_left == cur) //删除节点在根节点的左右子树，链接父节点的方式也不同
parent->_left = cur->_right;
else
parent->_right = cur->_right;
delete cur;
cur = nullptr;
return true;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
_root = cur->_left;
if (parent->_left == cur)
parent->_left = cur->_left;
else
parent->_right = cur->_left;
delete cur;
cur = nullptr;
return true;
}
else //左右有两个孩纸-》替换法删除，找它的右子树中最右节点(它的左节点一定为空）
{
Node* rightmin = cur->_right;
while (rightmin->_left)
rightmin = rightmin->_left;
cur->_key = rightmin->_key; //值进行替换
if (parent->_right == rightmin) //删除节点可能在不同边，与父亲链接的情况也不同
parent->_right = rightmin->_right;
else
parent->_left = rightmin->_right;
delete rightmin;
rightmin = nullptr;
return true;
}
}
}
return false;
}
void InorderKV() //KV模型打印
{
_InorderKV(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InorderKV(Node* root) //KV模型打印
{
if (root == nullptr)
return;
_InorderKV(root->_left);
cout << root->_key << ' ' << root->_value << endl;
_InorderKV(root->_right);
}
Node* _root = nullptr;
};
cpp
oid test5() //kv模型-》查找单词的个数
{
BSTree<string, int> t;
string s[] = { "苹果", "香蕉", "葡萄","梨子","苹果","苹果","香蕉","苹果" };
for (auto& e : s)
{
auto it = t.Find(e);
if (it)
it->_value += 1;
else
t.Insert(e, 1);
}
t.InorderKV(); //KV模型打印
}
int main()
{
test5();
return 0;
}
cpp
void test6() //kv模型-》英汉词典
{
BSTree<string, string> dict;
dict.Insert("see", "看");
dict.Insert("eat", "吃");
dict.Insert("left", "左");
string str;
while (cin >> str)
{
auto it = dict.Find(str);
if (it)
cout << "中文翻译: " << it->_value << endl;
else
cout << "单词不存在" << endl;
}
}
- 相较于K模型，改动的地方为Insert(key, value)、Node* Find(root, key)（返回节点的指针，目的---》通过key查找到value）。
性能分析
- 最优情况：为完全二叉树 或 满二叉树时，O(n) = longn 。
- 最坏情况：为单支树时，O(n) = n = 高度。
二叉树进阶面试题
二叉树创建字符串
https://leetcode.cn/problems/construct-string-from-binary-tree/
cpp
class Solution {
public:
string tree2str(TreeNode* root) {
if(root == nullptr) //空树
return "";
//to_string 整形转字符串
string ret = to_string(root->val); //第一个根节点不需要加左括号
//左括号存在的条件：左子树不为空、右子树不为空
if(root->left || root->right)
{
ret += "(";
ret += tree2str(root->left);
ret += ")";
}
//右括号存在的条件：右子树不为空
if(root->right)
{
ret += "(";
ret += tree2str(root->right);
ret += ")";
}
return ret;
}
};二叉树的分层遍历I
https://leetcode.cn/problems/binary-tree-level-order-traversal/
cpp
class Solution {
public:
vector<vector<int>> levelOrder(TreeNode* root) {
vector<vector<int>> ret;
int levesize = 0; //每层元素个数
queue<TreeNode*> q; //队列，先进先出
if(root) //第一个元素需要先入队列
{
q.push(root);
levesize = 1;
}
while(!q.empty())
{
vector<int> v;
while(levesize--) //上一层出完，下一层的所有元素一定全部入队
{
TreeNode* tmp = q.front();
q.pop();
v.push_back(tmp->val);
if(tmp->left)
q.push(tmp->left);
if(tmp->right)
q.push(tmp->right);
}
levesize = q.size();
ret.push_back(v);
}
return ret;
}
};最近公共祖先
https://leetcode.cn/problems/lowest-common-ancestor-of-a-binary-tree/
cpp
/*最近公共祖先：1.一个为它的左子树、另一个为它的右子树。2.一个在它的子树中。
最坏情况：O(n^2)*/
class Solution {
public:
bool InTree(TreeNode* root, TreeNode* x) //判断是否在该节点的子树中
{
if(root == nullptr)
return false;
return root == x || InTree(root->left, x) || InTree(root->right, x);
}
TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
if(root == nullptr) //空树
return nullptr;
if(p == root || q == root) //2
return root;
bool pInleft, pInright, qInleft, qInright;
pInleft = InTree(root->left, p);
pInright = !pInleft; //
qInleft = InTree(root->left, q);
qInright = !qInleft;
if(pInleft && qInright || pInright && qInleft) //1
return root;
if(pInleft && qInleft) //都在左子树中，去左子树中进行查找
return lowestCommonAncestor(root->left, p ,q);
if(pInright && qInright) //都在右子树中，去右子树中进行查找
return lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
return nullptr;
}
};
二叉搜索树与双向链表
https://www.nowcoder.com/share/jump/3163217841710348438605
cpp
class Solution { //以中序遍历的方式，进行中序的创建
public:
void _Convert(TreeNode* cur, TreeNode*& prev) //引用：变量在当前当栈帧的值，在其他栈帧仍保留
{
if(cur == nullptr)
return ;
_Convert(cur->left, prev); //左
if(prev)
{
cur->left = prev; //当前节点的左指向前一个
prev->right = cur; //前一个节点的右指向当前节点
}
prev = cur;
_Convert(cur->right, prev); //右
}
TreeNode* Convert(TreeNode* pRootOfTree) {
if(pRootOfTree == nullptr)
return nullptr;
TreeNode* prev = nullptr;
_Convert(pRootOfTree, prev);
while(pRootOfTree->left)
{
pRootOfTree = pRootOfTree->left;
}
return pRootOfTree;
}
};
前序遍历与中序遍历构造二叉树
https://leetcode.cn/problems/construct-binary-tree-from-preorder-and-inorder-traversal/
cpp
//当前问题，划分子问题：前序确定根，中序划分左右区间；返回条件：左右区间不存在就是空树
class Solution {
public: //index为引用，用于创建跟
TreeNode* _buildTree(vector<int>& preorder, vector<int>& inorder, int& index, int begin, int end)
{
if(begin > end) //无左、右子树-》空树
return nullptr;
TreeNode* root = new TreeNode(preorder[index++]); //前序确定根-》创建根
int rooti = begin; //中序确定左右区间
while(rooti <= end)
{
if(inorder[rooti] == root->val)
break;
else
rooti++;
}
//(左子树)[begin, roooti - 1] 、(当前节点)rooti、(右子树)[rooti + 1, end]
root->left = _buildTree(preorder, inorder, index, begin, rooti - 1);
root->right = _buildTree(preorder, inorder, index, rooti + 1, end);
return root;
}
TreeNode* buildTree(vector<int>& preorder, vector<int>& inorder) {
int index = 0;
TreeNode* root = _buildTree(preorder, inorder, index, 0, inorder.size() - 1);
return root;
}
};
中序遍历与后序遍历构造二叉树
https://leetcode.cn/problems/construct-binary-tree-from-inorder-and-postorder-traversal/
cpp
//中序(左、根、右):划分左右区间，后序(左、右、根)：从后往前依次是根、右子树的根、左子树的根
class Solution {
public:
TreeNode* _bulidTree(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder, int& prev, int begin, int end)
{
if(begin > end) //区间不存在，空树
return nullptr;
TreeNode* root = new TreeNode(postorder[prev--]);
int rooti = begin;
while(rooti <= end)
{
if(inorder[rooti] == root->val)
break;
else
rooti++;
}
root->right = _bulidTree(inorder, postorder, prev, rooti + 1, end);
root->left = _bulidTree(inorder, postorder, prev, begin, rooti - 1);
return root;
}
TreeNode* buildTree(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) {
int prev = postorder.size() - 1;
TreeNode* root = _bulidTree(inorder, postorder, prev, 0, inorder.size() - 1);
return root;
}
};二叉树的前序遍历(非递归)
https://leetcode.cn/problems/binary-tree-preorder-traversal/
cpp
class Solution {
/*前序遍历(根、左、右)：当前问题：访问左路节点(根、左)，子问题：访问左路节点的右子树(右)
结束条件：左路节点的右树全部访问完*/
public:
vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root) {
vector<int> v;
stack<TreeNode*> st; //存储左路节点，栈中有剩余表示还有节点的右子树未访问
TreeNode* cur = root; //cur指向谁，表示访问那棵树的开始
while(cur || !st.empty()) //结束条件，二者缺一不可
{
while(cur) //访问左路节点
{
v.push_back(cur->val); //入栈前先"访问"根
st.push(cur);
cur = cur->left;
}
TreeNode* tmp = st.top();
st.pop();
cur = tmp->right; //访问左路节点的右子树------子问题
}
return v;
}
};
二叉树的中序遍历(非递归)
https://leetcode.cn/problems/binary-tree-inorder-traversal/
cpp
//与前序遍历相同，唯一不同的是：根在出栈后进行存储
class Solution {
public:
vector<int> inorderTraversal(TreeNode* root) {
vector<int> v;
stack<TreeNode*> st;
TreeNode* cur = root;
while(cur || !st.empty())
{
while(cur)
{
st.push(cur);
cur = cur->left;
}
TreeNode* tmp = st.top();
st.pop();
v.push_back(tmp->val);
cur = tmp->right;
}
return v;
}
};二叉树的后序遍历(非递归)
https://leetcode.cn/problems/binary-tree-postorder-traversal/
cpp
class Solution {
public:
vector<int> postorderTraversal(TreeNode* root) {
vector<int> v;
stack<TreeNode*> st;
TreeNode* cur = root;
TreeNode* prev = nullptr; //记录被访问的前一个节点
while(cur || !st.empty())
{
while(cur) //访问左路节点
{
st.push(cur);
cur = cur->left;
}
TreeNode* tmp = st.top(); //表示tmp节点的左子树已经访问完了
/*1.当前节点的右子树为空 或者 当前节点的右子树为上一个被访问的节点
2.否则，就子问题访问当前节点的右子树*/
if(tmp->right == nullptr || prev == tmp->right)
{
st.pop();
v.push_back(tmp->val);
prev = tmp;
}
else
{
cur = tmp->right;
}
/*注意：else不能省略，结果有误，因为根节点是最后进行删除的，若此时根节点已经删除，
cur=tmp->right,尽管栈已经pop为空栈了，但只是删除了树节点的指针，树的结点仍存在，
导致继续访问2、3，直到cur为空，最终结果就为[3, 2, 1, 3, 1]*/
}
return v;
}
};