前置知识
高斯-约旦消元
和高斯消元一样，高斯-约旦消元也是通过加减消元来化简方程。两者之间的不同在于，高斯-约旦消元会将系数矩阵消成形如 A ′ = a 1 , 1 ′ b 1 ′ a 2 , 2 ′ b 2 ′ ⋱ ⋮ a n , n ′ b n ′ A'=\begin{bmatrix}a_{1,1}'&&&&b_1'\\&a_{2,2}'&&&b_2'\\&&\ddots&&\vdots\\&&&a_{n,n}'&b_n'\end{bmatrix} A′= a1,1′a2,2′⋱an,n′b1′b2′⋮bn′ 的形式。
一般来说， a i , i ′ = 1 a_{i,i}'=1 ai,i′=1，此时 x i = b i ′ x_i=b_i' xi=bi′ 即为一组解。
特殊情况下， a i , i ′ = 0 a_{i,i}'=0 ai,i′=0，那么解的情况也很好确定，先判无解，再判多解，不多做赘述。
接下来简述高斯-约旦消元的过程。
首先我们利用 ( 1 ) (1) (1) 式进行消元，先通过除以 a 1 , 1 a_{1,1} a1,1 将 a 1 , 1 a_{1,1} a1,1 化为 1 1 1，其他和基本高斯消元相同。
接着对于 ( 2 ) (2) (2) 式，同样先将 a 2 , 2 a_{2,2} a2,2 化为 1 1 1，此时 a 1 , 0 = 0 a_{1,0}=0 a1,0=0，对 ( 1 ) (1) (1) 式的 a 1 , 1 a_{1,1} a1,1 没有影响，故可同理对 ( 1 ) (1) (1) 式消元。
同理，消元后必得如上系数矩阵。
优化
同理，交换至最大再消元。
算法参数
- 时间复杂度： O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)
- 空间复杂度： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
实现代码
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long double eps=1e-10;
int n,cur=1;
long double a[110][110];
int main(){
cin>>n;
for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=n+1;j++) cin>>a[i][j];
for (int i=1;i<=n;i++){
int idx=cur;
for (int j=cur;j<=n;j++) if (fabs(a[j][i])>fabs(a[idx][i])) idx=j;
if (fabs(a[idx][i])>eps) swap(a[cur],a[idx]);
else continue;
for (int j=n+1;j>=i;j--) a[cur][j]/=a[cur][i];
for (int j=1;j<=n;j++) if (j!=cur) for (int k=n+1;k>=i;k--) a[j][k]-=a[j][i]*a[cur][k];
cur++;
}
for (int i=cur;i<=n;i++) if (fabs(a[i][n+1])>eps){cout<<"No solutions";return 0;}
for (int i=1;i<=n;i++) if (fabs(a[i][i])<eps){cout<<"Many solutions";return 0;}
for (int i=1;i<=n;i++) printf("x%d=%.10Lf\n",i,a[i][n+1]/a[i][i]);
return 0;
}