MATLAB - 自定义惯性矩阵

系列文章目录

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前言

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一、关键惯性约定

Simscape 多体软件在惯性定义中采用了一系列约定。请注意这些约定，因为如果手动进行惯性计算，这些约定可能会影响计算结果。如果您的惯性数据来自 CAD 应用程序或其他第三方软件，这些约定还可能影响到您需要对惯性数据进行哪些额外处理。特别是

• 惯性积的定义采用负数式，即在质量积分中明确插入减号。还有另一种方法，即在质量积分中不带减号。回想一下，惯性积是惯性矩阵的对角线外元素。
• 质量中心是相对于块的本地坐标系定义的。在导入 CAD 图形的实体中，该坐标系通常是 CAD 应用程序在惯性计算中假定的坐标系。但也可以修改实体几何文件，使两个坐标系不再匹配。

二、惯性矩阵定义

惯性矩阵捕捉了物质围绕局部坐标系的空间分布，在此称为惯性分辨率坐标系。该坐标系在图中标为 I。它的坐标轴与本地参照系的坐标轴平行，与 R 坐标系端口相关联，并相应地标注为 R。

惯性矩阵由惯性矩和惯性积组成。惯性矩占据矩阵的对角线位置，用于测量质量分布在惯性坐标系各轴上的分散度或扩散度。对某一轴线的扩散越大，该轴线对应的惯性矩就越大。

惯性积占据对角线以外的位置，衡量质量分布相对于惯性坐标系平面的不对称程度。对某平面的不对称程度越大，与该平面内任何轴相关的惯性积就越大。下图说明了这些关系。

2.1 惯性方程

矩阵相对于主对角线是对称的：指数互为倒数的对角线外元素具有相同的值。这一约束条件将惯性的唯一积的数量从原来的六个（所有对角线外位置的惯性积）减少到您必须在一个块中指定的三个（具有唯一指数组合的惯性积）：

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惯性积 的定义采用了一些 CAD 应用程序所采用的流行的 "负数 "惯例：

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其中，ρ 是质量密度，v 是体积，V 是积分的总体积。x 坐标、y 坐标和 z 坐标是从质量中心到质量 ρdv 的无穷小元素的距离矢量的笛卡尔分量。惯性矩 的定义与此类似：

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当应用于简单形状（如圆柱形壳和矩形梁）时，这些定义会产生众所周知的代数方程，这些方程通常公布在标准工程表格中。在明确指定惯性参数时，可以参考这些表格。根据 Simscape 多体程序，完整的惯性矩阵为

2.2 惯性主轴

惯性矩的定义是正数。但是，惯性积可以是正、负或零。如果惯性坐标系的轴恰好与惯性主轴重合，则惯性积为零。惯性矩被称为主惯性矩，惯性矩阵被称为对角矩阵：

在这种情况下，必须指定的非三维惯性矩阵元素的数量减少到三个，即主惯性力矩。因此，惯性主轴可以作为指定惯性矩阵元素的方便坐标系。这就是实体块高度对称的预设形状中所假定的惯性分辨率坐标系。

但是，挤压实体或旋转实体的实体形状一般不采用这种方式，通过 STEP 或 STL 文件导入的实体形状也不采用这种方式。在 "挤压实体 "和 "旋转实体 "形状中，坐标系的位置与您如何定义几何截面密切相关。对于导入的形状，则取决于相对于本地零坐标，零件几何形状是如何建模的。

作为最佳实践，在明确指定惯性矩阵元素时，尤其是使用实体块时，应始终考虑分辨率惯性坐标系的位置。坐标系的位置始终是质量中心的位置，但在使用实体块时，其相对于实体几何体的方向不一定总是与惯性主轴重合。

试试看 指定自定义惯性

考虑图中所示的矩形梁。确定其质量、质心、惯性矩和惯性积。使用自定义惯性参数化，在砖实体块中明确指定计算参数。

材料和尺寸。 假设结构为铝，相应的质量密度为 0.09754 磅/英寸^3。使用横梁尺寸：

• 宽度 x = 3 英寸
• 高度 y = 4 英寸
• 长度 z = 10 英寸

准备梁模型。 在 Simscape 多体模型中添加实体砖块。在 "Brick Solid 块 "对话框中指定梁的几何形状：将 "几何形状 > 尺寸 "参数设置为 [3 4 10] 英寸。该数组与梁的尺寸 [x y z] 相对应。

几何类型会影响局部参考系（R）的坐标，从而影响惯性计算本身。在可视化工具条中，单击 "坐标系可见性切换 "按钮。坐标系 R 位于质量中心，其轴线平行于梁尺寸（x、y 和 z）。

指定惯性参数。 根据梁的密度和尺寸计算惯性参数。然后在实体砖块参数的惯性部分指定计算值：

• Mass - 质量密度 (ρ) 与体积 (x - y - z) 的乘积：
• Center of Mass - 相对于本地坐标系 (R) 的中心点坐标：
• Moments of Inertia - 来自与分辨率惯性坐标系 (I) 有关的标准表达式：
• Products of Inertia - 由相对于分辨率（I）的惯性坐标系的对称性而来：

三、作为惯性数据源的 CAD

CAD 应用程序通常会为零件模型提供惯性数据。例如，SolidWorks 软件通过其 "质量属性 "工具提供惯性数据，Onshape 软件通过其相同工具的版本提供惯性数据。您可以在 Simscape 多体环境中引用这些数据并手动指定。

3.1 替代惯性约定

某些 CAD 应用程序（包括 SolidWorks）使用另一种惯性约定来定义惯性矩阵的元素。这种约定去掉了惯性积定义中的负号。例如，惯性积 Iyz 变为

如果您的惯性数据源采用此约定，则必须在 Simscape 多体环境中指定惯性积的值之前明确否定惯性积。例如，SolidWorks 的惯性矩阵为

要在 Simscape 多体环境中正确指定矩阵元素，必须按以下方式处理它们：

3.2 CAD 导入替代方案

您可以将 CAD 装配模型导入 Simscape 多体环境，而不是引用 CAD 装配模型中的惯性数据。CAD 导入基于 smimport 功能，该功能可解析 XML 格式的多体描述文件，并生成包含所有预设块参数（包括惯性参数）的等效框图。

在导入 CAD 模型之前，您必须以有效的 XML 格式导出模型，即符合 Simscape Multibody XML 模式的格式。只有当您拥有完整的 CAD 装配模型时，此选项才适合您。对于单个 CAD 零件，请使用实体块的 STEP 文件导入功能，并将 "惯性">"类型 "参数设置为 "从几何图形计算"。

更多信息，请参阅将 CAD 装配体转换为 Simscape 多体模型。

试试看： 参考 SolidWorks 模型

确定图中所示 L 形梁的惯性参数。然后，通过将惯性参数化设置为自定义，在实体块中明确指定这些参数。将本示例中提供的质量属性数据用于梁的 SolidWorks 模型。

打开实体模型。 在 MATLAB® 命令提示符下输入 openExample("sm/DocLBeamInertiaExample")。此时将打开一个简单模型，其中的文件实体块代表 L 形梁实体。打开文件实体块并查看其几何参数。梁的几何体是从之前从 SolidWorks 模型导出的 STEP 文件中导入的。该几何体为

在可视化窗格中，单击 "切换坐标系可见性 "按钮。可视化窗格显示两个坐标系，一个标为 R，另一个标为 I。

坐标系 R 是实体的局部坐标系。它与 SolidWorks 用户所说的零件模型输出坐标系相吻合。该坐标系位于横梁两个纵向端点之一 L 形的下角。您必须指定相对于该坐标系的质心。

坐标系 I 是为方便您使用而定制的实体坐标系。该坐标系与分辨率惯性坐标系一致。其原点位于质量中心，轴线与本地坐标系的轴线平行。您必须指定相对于该坐标系的惯性矩和惯性积。

查看 SolidWorks 数据。 SolidWorks 模型为 L 型梁零件提供了以下质量属性数据：

Mass properties of l_beam_solid
     Configuration: Default
     Coordinate system: -- default --

Density = 0.10 pounds per cubic inch
Mass = 2.19 pounds
Volume = 22.41 cubic inches
Surface area = 101.91 square inches

Center of mass: ( inches )
	X = 0.58
	Y = 1.08
	Z = 5.00

Principal axes of inertia and principal moments of inertia: 
( pounds * square inches )
Taken at the center of mass.
	 Ix = ( 0.00,  0.00,  1.00)   	Px = 2.49
	 Iy = ( 0.38, -0.92,  0.00)   	Py = 18.65
	 Iz = ( 0.92,  0.38,  0.00)   	Pz = 20.35

Moments of inertia: ( pounds * square inches )
Taken at the center of mass and aligned with 
the output coordinate system.
	Lxx = 20.10	Lxy = -0.60	Lxz = 0.00
	Lyx = -0.60	Lyy = 18.89	Lyz = 0.00
	Lzx = 0.00	Lzy = 0.00	Lzz = 2.49

Moments of inertia: ( pounds * square inches )
Taken at the output coordinate system.
	Ixx = 77.40	Ixy = 0.76	Ixz = 6.33
	Iyx = 0.76	Iyy = 74.39	Iyz = 11.79
	Izx = 6.33	Izy = 11.79	Izz = 5.76

数据包括质心相对于 "输出坐标系 "的坐标。该坐标系与相应 Simscape 多体实体的局部坐标系 (R) 相吻合。

数据还包括 "取自质量中心并与输出坐标系对齐 "的惯性矩和惯性积矩阵。该坐标系与 Simscape 多体实体的惯性分辨率 (I) 坐标系一致。

指定惯性参数。 展开 "文件实体块 "对话框的 "惯性参数 "部分。然后将 "惯性 > 类型 "参数设置为 "自定义"，更改惯性参数设置。此时将显示整套惯性参数供您指定。

1. 将 "质量 "参数设置为 2.19 磅。
2. 将质量中心参数设置为 [0.58 1.08 5.00] in. 这是 SolidWorks 报告中显示的质量中心的 [x y z] 坐标。
3. 将惯性力矩参数设置为 [20.10 18.89 2.49] lbm*in^2。这些是 SolidWorks 报告中显示的 [Lxx Lyy Lzz] 惯性矩。
4. 将惯性积参数设置为 [0 0 0.6] lbm*in^2。这些是 SolidWorks 报告中显示的惯性积的负 [Lyz Lzx Lxy ]。

四、自动惯性计算

实体块提供了一个选项，可根据实体几何图形自动计算大部分惯性参数。该选项可从 "惯性">"类型 "下拉列表中选择，默认为打开，您只需指定几何参数和质量或质量密度。

程序块使用几何参数和质量参数计算其余惯性参数--质心、惯性矩和惯性积--相对于相应的坐标系。计算基于质量密度恒定且均匀的假设。

您可以在实体块内名为 "显示惯性 "的可扩展部分查看计算结果。质心是相对于本地坐标系（R）给出的，惯性矩和惯性积是相对于惯性分辨率坐标系（I）给出的。这些都是您可以指定这些参数的坐标系。

试试看 显示惯性计算结果

配置 DocLBeamInertiaExample 模型的文件实体块，根据实体几何形状及其质量密度计算惯性参数。然后，查看计算参数。

1. 在 "文件实体 "块的对话框中，将 "惯性">"类型 "参数切换为 "从几何体计算"。密度参数下方会出现一个显示惯性节点。
2. 将密度参数设置为 0.09754 lbm/in^2。该值对应于铝结构实体，与 "查看 SolidWorks 数据 "中提供的 SolidWorks 数据中的假设相同。
3. 展开 "显示惯性 "节点并单击 "更新 "按钮。显示惯性 "下的惯性参数将以计算值填充。将它们与 SolidWorks 质量属性数据中提供的值进行比较。

五、URDF 中的惯性矩阵

5.1 长方体的惯性矩阵

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
#
# SPDX-License-Identifier: Apache-2.0
# Copyright 2022 Stéphane Caron

"""
Compute the inertia matrix of a box and print it as URDF.

Source:
    https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_moments_of_inertia#List_of_3D_inertia_tensors
"""

import argparse
import sys


def parse_command_line_arguments():
    parser = argparse.ArgumentParser(description=__doc__)
    parser.add_argument("mass", type=float, help="total mass in [kg]")
    parser.add_argument(
        "l_x", type=float, help="box length in [m] along the x-axis"
    )
    parser.add_argument(
        "l_y", type=float, help="box length in [m] along the y-axis"
    )
    parser.add_argument(
        "l_z", type=float, help="box length in [m] along the z-axis"
    )
    return parser.parse_args()


if __name__ == "__main__":
    args = parse_command_line_arguments()
    mass, l_x, l_y, l_z = args.mass, args.l_x, args.l_y, args.l_z
    ixx = mass / 12.0 * (l_y ** 2 + l_z ** 2)
    iyy = mass / 12.0 * (l_x ** 2 + l_z ** 2)
    izz = mass / 12.0 * (l_x ** 2 + l_y ** 2)
    print(f'<box size="{l_x} {l_y} {l_z}" />')
    print(f'<mass value="{mass}" />')
    print(f"\n<!-- {' '.join(sys.argv)} -->")
    print(
        f'<inertia ixx="{ixx}" ixy="0" ixz="0" '
        f'iyx="0" iyy="{iyy}" iyz="0" '
        f'izx="0" izy="0" izz="{izz}" />'
    )

5.2 圆柱体的惯性矩阵

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
#
# SPDX-License-Identifier: Apache-2.0
# Copyright 2022 Stéphane Caron

"""
Compute the inertia matrix of a cylinder and print it as URDF.

Source:
    https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_moments_of_inertia#List_of_3D_inertia_tensors
"""

import argparse
import sys


def parse_command_line_arguments():
    parser = argparse.ArgumentParser(description=__doc__)
    parser.add_argument("mass", type=float, help="total mass in [kg]")
    parser.add_argument(
        "radius", type=float, help="radius in [m] in the xy-plane"
    )
    parser.add_argument(
        "length", type=float, help="length in [m] along the z-axis"
    )
    return parser.parse_args()


if __name__ == "__main__":
    args = parse_command_line_arguments()
    mass, radius, length = args.mass, args.radius, args.length
    ixx = mass / 12.0 * (3 * radius ** 2 + length ** 2)
    iyy = mass / 12.0 * (3 * radius ** 2 + length ** 2)
    izz = mass / 2.0 * radius ** 2
    print(f'<cylinder radius="{radius}" length="{length}" />')
    print(f'<mass value="{mass}" />')
    print(f"\n<!-- {' '.join(sys.argv)} -->")
    print(
        f'<inertia ixx="{ixx}" ixy="0" ixz="0" '
        f'iyx="0" iyy="{iyy}" iyz="0" '
        f'izx="0" izy="0" izz="{izz}" />'
    )