MATLAB--Sequences & Series II

Problem 2575. Sum of series I

What is the sum of the following sequence:（这个序列的和是多少：）
复制代码
 Σ(2k-1) for k=1...n
for different n?（对于不同的 ( n )？）

在MATLAB中，可以使用循环来计算这个序列的和。以下是一个计算这个序列和的MATLAB函数：

Matlab 复制代码

function sequenceSum = sumOfSequence(n)
    % Initialize sum
    sequenceSum = 0;
    
    % Loop from k=1 to n
    for k = 1:n
        % Add (2k-1) to the sum
        sequenceSum = sequenceSum + (2*k - 1);
    end
end

你可以调用这个函数，传入不同的 ( n ) 值来计算相应的序列和。例如：

Matlab 复制代码

n1 = 5;
sum1 = sumOfSequence(n1);
disp(sum1);

n2 = 10;
sum2 = sumOfSequence(n2);
disp(sum2);

这将输出对应 ( n ) 值的序列和。

例2

Problem 2672. Largest Geometric Series

Extension of Ned Gulley's wonderful Problem 317.

In a geometric series, ratio of adjacent elements is always a constant value. For example, [2 6 18 54] is a geometric series with a constant adjacent-element ratio of 3.

A vector will be given. Find the largest geometric series that can be formed from the vector.

Example:

input = [2 4 8 16 1000 2000];

output = [2 4 8 16];

Update - Test case added on 21/8/22

（Ned Gulley的问题317的扩展。

在一个几何级数中，相邻元素的比值始终是一个恒定值。例如，[2 6 18 54] 是一个几何级数，其相邻元素比值恒定为3。

将给出一个向量。找出可以从该向量中形成的最大几何级数。

例子： input = [2 4 8 16 1000 2000]; output = [2 4 8 16]; 更新 - 测试用例添加于21/8/22）

以下是这个问题的 MATLAB 扩展解决方案：

Matlab 复制代码

function maxGeometricSequence = findMaxGeometricSequence(input)
    % 初始化最大几何级数
    maxGeometricSequence = [];
    
    % 遍历输入向量的每个元素作为可能的起始点
    for i = 1:length(input)
        % 初始化当前可能的几何级数
        currentSequence = input(i);
        ratio = 0;
        
        % 遍历从当前起始点开始的可能的几何级数
        for j = i+1:length(input)
            % 计算相邻元素的比值
            if input(j-1) ~= 0
                ratio = input(j) / input(j-1);
            else
                break; % 避免除以0的情况
            end
            
            % 如果当前元素符合几何级数的条件，则将其添加到当前序列中
            if input(j) == input(j-1) * ratio
                currentSequence = [currentSequence, input(j)];
            else
                break; % 如果不符合条件，则终止当前序列的构建
            end
        end
        
        % 更新最大几何级数
        if length(currentSequence) > length(maxGeometricSequence)
            maxGeometricSequence = currentSequence;
        end
    end
end

可以使用这个函数来测试：

Matlab 复制代码

input = [2 4 8 16 1000 2000];
output = findMaxGeometricSequence(input);
disp(output)

这应该会输出 [2 4 8 16]，这是从输入向量中找到的最大几何级数。

例3

Problem 2908. Approximation of Pi

Pi (divided by 4) can be approximated by the following infinite series:

pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

For a given number of terms (n), return the difference between the actual value of pi and this approximation of the constant.

Also, try Problem 2909, a slightly harder variant of this problem.

（π（除以4）可以用以下无限级数近似： π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... 对于给定的项数（n），返回π的实际值与这个常数的近似值之间的差。此外，尝试问题2909，这是这个问题的一个稍微更难的变体。"）

Matlab 复制代码

function pi_approximation_error = computePiApproximationError(n)
    % 计算π的近似值与实际值之间的差
    
    % 初始化近似值
    pi_approximation = 0;
    
    % 循环遍历每一项
    for k = 0:n-1
        % 计算当前项的值
        term = (-1)^k / (2*k + 1);
        
        % 将当前项加到近似值中
        pi_approximation = pi_approximation + term;
    end
    
    % 计算π的近似值
    pi_approximation = 4 * pi_approximation;
    
    % 计算π的实际值
    actual_pi = pi;
    
    % 计算近似值与实际值之间的差
    pi_approximation_error = actual_pi - pi_approximation;
end

然后，你可以调用这个函数来计算给定项数的近似值与实际值之间的差，比如：

Matlab 复制代码

n = 100; % 给定的项数

pi_approximation_error = computePiApproximationError(n);
disp(pi_approximation_error); % 显示结果

这将给出近似值与实际值之间的差。至于问题2909，你可以在完成这个问题后尝试解决它。

例4

Problem 2576. Sum of series II

What is the sum of the following sequence:
复制代码
 Σ(2k-1)^2 for k=1...n
for different n?

Matlab 复制代码

function sum_sequence = calculate_sequence_sum(n)
    % 初始化总和为0
    sum_sequence = 0;
    
    % 计算序列的总和
    for k = 1:n
        sum_sequence = sum_sequence + (2*k - 1)^2;
    end
end