基于FPGA的数字信号处理（9）--定点数据的两种溢出处理模式：饱和（Saturate）和绕回（Wrap）

1、前言

在逻辑设计中，为了保证运算结果的正确性，常常需要对结果的位宽进行扩展。比如2个3bits的无符号数相加，只有将结果设定为4bits，才能保证结果一定是正确的。不然，某些情况如7+7 = 14(1110)，如果结果只用3bits表示那么就成了110(6)了，这样运算的结果就是错的。同理，乘法操作需要扩展的位宽更大，是两个乘数的位宽之和，比如2个3bits的无符号数做乘法，结果需要设定为6bits。

如果在后续数据处理的过程中，一直都这样对结果的位宽进行扩展，那么在算法链很长的情况下，将会消耗大量的逻辑资源。因此在设计中，常常需要对数据进行的位宽进行处理。

数据的位宽处理分为两个部分：

• 对整数的处理：例如原本用6bits表示的结果，下级模块规定只能用到4bits输入。因为6bits的表示范围大于4bits，就有可能出现4bits无法表示的情况(即溢出)
• 对小数的处理：原理同上。四舍五入就是一种经典的对小数截位的方式，类似的方法还有ceili，floor，nearest等等。

本文只讨论整数部分的溢出截位处理，小数部分的处理下篇文章再说。对整数的截位处理，实际上就是对溢出的处理，其决定了当运算结果大于该数位宽所能表示的最大值时，如果对溢出部分处理。通常有两种对溢出的处理方式：

• Saturate（饱和）：一旦数据溢出，那么就将结果饱和处理为最大值或最小值（取决于正向溢出还是负向溢出）
• Wrap（绕回/截断）：一旦数据溢出，那么就直接将溢出的高位截断

将6bits的整数41截位到4bits，两种溢出模式的处理结果如下：

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2、Saturate

因为有符号数和无符号存在表示范围的区别，所以二者的溢出处理也存在一定的区别，接下来对两种情况分别进行讨论。

2.1、无符号数的Saturate

Saturate是当数据溢出时，就直接用最大值或最小值来表示。因为无符号数不能表示负数，因此不存在对于负数的饱和处理，只存在正向的饱和。例如要将1个6bits的数截断到4bits，因为4bits能表示的最大值是15，那么所有大于15的数，都直接用15来表示，示意图如下：

将1个6bits的输入Saturate为4bits的输出，用Verilog可以这么写：

module test(
	input		[5:0]	data_6bits,
	output  reg	[3:0]	data_4bits	
);

always@(*)
begin
	if(data_6bits > 4'd15)			//溢出了
		data_4bits = 4'd15;			//饱和到最大值
	else				
		data_4bits = data_6bits;	//没溢出则直接赋值
end
  
endmodule 

除了直接用大于符号（data_6bits > 4'd15）来判断是否溢出外，也可以这样判断：

if(|data_6bits[5:4]) //判断高2位是否存在1，若存在则该数的值必定大于15

再写个TB测试一下：因为输入比较少，所以可以用穷举法来测试，把输入从最小值0开始累加最大值63，观察输出是否会被Saturate。

`timescale 1ns/1ns
module test_tb();

reg		[5:0]	data_6bits;
wire	[3:0]	data_4bits;

//例化被测试模块
test	test_inst(
	.data_6bits		(data_6bits),
	.data_4bits		(data_4bits)
);

initial begin
	data_6bits = 0;
	while(~(&data_6bits))begin			//当输入不全为1，即非最大值
		data_6bits = data_6bits + 1;	//从0开始累加1
		#5;
	end
	#20 $stop();
end

endmodule

仿真结果是这样的：

当输入超过4bits位宽能表示的最大值15时，就会都饱和处理，即输出为最大值15。

2.2、有符号数Saturate

对于有符号数的Saturate处理有两种情况：

• 正数太大无法表示，只能饱和到最大值。例如4bits有符号数最大只能表示 7，那么大于7的数就只能饱和处理为 7。
• 负数太小无法表示，只能饱和到最小值。例如4bits有符号数最小只能表示 -8，那么小于-8的数就只能饱和处理为 -8。

当数据溢出时，就直接用最大值或最小值来表示。因为无符号数不能表示负数，因此不存在对于负数的饱和处理，只存在正向的饱和。例如要将1个6bits的数截断到4bits，因为4bits能表示的最大值是15，那么所有大于15的数，都直接用15来表示，示意图如下：

例如，将1个6bits的有符号数Saturate为4bits，对于数据的正向溢出判断和无符号数的Saturate是类似的，只要判断除了符号位的多出来的高位是否有1即可。

对于数据的负数方向溢出判断要麻烦一点，首先我们要知道，对于一个有符号的负数，在其高位扩展符号位，其数值是不会改变的。例如：

10\110\1110\11110，它们表示的都是 -2。

把6bits截位到4bits，只要判断它的高三位（因为讨论的是负数，所以最高位肯定是1）是否都为1就行了，如果是的话，说明高3位可是视为是1位符号位的扩展，数据的表示范围等价于4bits的表示范围。如果不为全1，则说明比4bits的表示范围要大，即数据产生了溢出。

综上，用Verilog可以这么写：

module test(
	input		[5:0]	data_6bits,
	output  reg	[3:0]	data_4bits	
);

always@(*)
begin
	if(~data_6bits[5] && (|data_6bits[4:3]))			//判断条件（正数 && 溢出），即正向溢出了
		data_4bits = 4'b0111;							//饱和到最大值7
	else if(data_6bits[5] && ~(&data_6bits[4:3]))		//判断条件（负数 && 溢出），即负向溢出了			
		data_4bits = 4'b1000;							//饱和到最小值-8
	else	
		data_4bits = data_6bits;						//没溢出则直接赋值
end
  
endmodule 

仍然用上面的TB，仿真结果如下：

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3、Wrap

Wrap从字面上理解是绕回，什么是绕回呢？比如一块手表，它只能表示0点~12点，超出了12点的话，它就会绕回到0点再重新开始。比如13点的表示就是到了12点后，再走到了1点。

对数据的Wrap处理也是类似的，比如4bits的无符号数最多只能表示1111（15），这个时候如果再加1就是16了，16是表示不了的。Saturate是直接表示最大值15，而Wrap则是重新回到开始表示0。类似的，17就Wrap到1，18就Wrap到2，19就Wrap到3，依此类推。示意图如下：

对于有符号数的Wrap处理也是一样的截掉高位，但是因为有符号数可以表示负数，所以它的绕回是从最小的负数开始的，例如最大的4bits有符号数是0111即7，溢出后是1000即-8，示意图如下：

Wrap处理用Verilog是很好实现的，因为它本质上相当于截掉高位，而截掉高位这个操作是可以被综合工具自动实现的，它甚至都不需要消耗任何逻辑资源。比如，将1个6bits的输入Wrap为4bits的输出，用Verilog可以这么写：

module test(
	input		[5:0]	data_6bits,
	output  	[3:0]	data_4bits	
);
			
assign	data_4bits = data_6bits;		//直接赋值即可，工具会自动截位
//等价于下面的语句
//assign	data_4bits = data_6bits[3:0];
  
endmodule 

用上面的TB测试就行，无符号数的测试结果如下：

有符号数的测试结果如下：

可以看到当输入大于4bits能表示的最大值后，就会回到最小值重新开始，相当于截掉了高位。

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4、总结

• Saturate相当于溢出时，将结果保留在最大值或最小值；而Wrap则是溢出时重新绕回到起点。
• 相对来说Saturate损失的精度比较小，结果较为准确，但是消耗的硬件资源比Wrap方式要多；Wrap不需要消耗硬件资源，因为它实际上相当于截掉高位，等于是没有什么处理，精度损失大，结果不太准确（尤其是有符号数的Wrap），只适用于特定场合。