自我介绍
最懂保险的算法工程师，致力于保险理念的推广，让每个程序员在35岁时都能够免除后顾之忧。通过构建保险组合，避免中年因病致穷，苦攒多年积蓄全部花费在医疗上，因此返贫。有兴趣的朋友后台私信加V：Archangle3_14，加不上可私信，常驻深圳，可约面谈。
交叉熵损失函数+sigmoid激活函数的链式求导
如果损失函数是交叉熵损失（entropy loss），通常用于分类任务中评估模型的输出与实际标签之间的差异。假设我们处理的是一个二分类问题，使用的输出层激活函数是sigmoid函数，那么交叉熵损失函数可以表达为：
交叉熵损失函数
对于一个给定的样本，交叉熵损失定义为：
L = − ( y log ( y ^ ) + ( 1 − y ) log ( 1 − y ^ ) ) L = -\left(y \log(\hat{y}) + (1 - y) \log(1 - \hat{y})\right) L=−(ylog(y^)+(1−y)log(1−y^))
其中 y y y 是实际的标签， y ^ \hat{y} y^ 是模型的预测概率，这里 y ^ = σ ( z ) \hat{y} = \sigma(\mathbf{z}) y^=σ(z)，且 z \mathbf{z} z 是隐藏层通过激活函数之前的线性输出。
链式求导
为了应用链式求导，我们首先计算 ∂ L ∂ y ^ \frac{\partial L}{\partial \hat{y}} ∂y^∂L：
∂ L ∂ y ^ = − ( y y ^ − 1 − y 1 − y ^ ) \frac{\partial L}{\partial \hat{y}} = -\left(\frac{y}{\hat{y}} - \frac{1 - y}{1 - \hat{y}}\right) ∂y^∂L=−(y^y−1−y^1−y)
然后，考虑 y ^ = σ ( z ) \hat{y} = \sigma(\mathbf{z}) y^=σ(z)，其导数 σ ′ ( z ) = σ ( z ) ( 1 − σ ( z ) ) \sigma'(z) = \sigma(z)(1 - \sigma(z)) σ′(z)=σ(z)(1−σ(z))，所以我们有：
∂ y ^ ∂ z = σ ( z ) ( 1 − σ ( z ) ) = y ^ ( 1 − y ^ ) \frac{\partial \hat{y}}{\partial \mathbf{z}} = \sigma(\mathbf{z})(1 - \sigma(\mathbf{z})) = \hat{y}(1 - \hat{y}) ∂z∂y^=σ(z)(1−σ(z))=y^(1−y^)
现在，利用链式法则计算 ∂ L ∂ z \frac{\partial L}{\partial \mathbf{z}} ∂z∂L：
∂ L ∂ z = ∂ L ∂ y ^ ⋅ ∂ y ^ ∂ z = ( − y y ^ + 1 − y 1 − y ^ ) ⋅ y ^ ( 1 − y ^ ) \frac{\partial L}{\partial \mathbf{z}} = \frac{\partial L}{\partial \hat{y}} \cdot \frac{\partial \hat{y}}{\partial \mathbf{z}} = \left(-\frac{y}{\hat{y}} + \frac{1 - y}{1 - \hat{y}}\right) \cdot \hat{y}(1 - \hat{y}) ∂z∂L=∂y^∂L⋅∂z∂y^=(−y^y+1−y^1−y)⋅y^(1−y^)
简化上式，我们得到：
∂ L ∂ z = − y ( 1 − y ^ ) + ( 1 − y ) y ^ = y ^ − y \frac{\partial L}{\partial \mathbf{z}} = -y(1 - \hat{y}) + (1 - y)\hat{y} = \hat{y} - y ∂z∂L=−y(1−y^)+(1−y)y^=y^−y
最终，根据 z = W x + b \mathbf{z} = \mathbf{Wx} + \mathbf{b} z=Wx+b，我们得到权重 W \mathbf{W} W 和偏置 b \mathbf{b} b 的梯度：
∂ L ∂ W = ( y ^ − y ) x T \frac{\partial L}{\partial \mathbf{W}} = (\hat{y} - y) \mathbf{x}^T ∂W∂L=(y^−y)xT
∂ L ∂ b = y ^ − y \frac{\partial L}{\partial \mathbf{b}} = \hat{y} - y ∂b∂L=y^−y
总结
这种方式提供了更新权重 W \mathbf{W} W 和偏置 b \mathbf{b} b 的直接方法，适用于通过梯度下降方法优化二分类问题的神经网络模型。这种推导清楚地显示了从损失函数到模型权重的依赖关系，也是反向传播算法中的关键步骤。