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前言
前面一些章节主要针对各种矩阵变换，模型变换、视图变换、投影变换、屏幕空间变换等等！这一节咱们补充一下多边形剪裁算法的内容，主要讲解一下为什么需要，以及介绍二、三维下三角形裁剪的基本思路。
正文
为什么需要多边形剪裁算法？
以三角形为例，经过了视图变换和投影变换后，咱们已经将三角形所有的顶点坐标转换成了裁剪空间的坐标，咱们得目标只是为了获得 [ − 1 , 1 ] 3 [-1,1]^3 [−1,1]3 包围盒内的顶点构成的三角形，但是必定有些三角形的顶点既有在立方体内部的，也有在外部的，这时候必定需要对其进行转化，从而变成内部的！
以二维举例：以下为三角形裁剪的示意图：
我们发现，其实二维下的三角形的顶点分支大致分为三类情况：
- （1）三角形的三个顶点都在可视坐标范围内。这种情况不需要裁剪
- （2）三角形的三个顶点既有可视坐标范围内，也有可视范围外。这种情况就是裁剪算法发挥的地方！
- （3）三角形的三个顶点都不在可视坐标范围内。这种情况不需要裁剪
我们发现上述的绿色三角形在可视范围内是一个类似楔形的四边形，这时候需要对其分割成两个三角形才行！其他更多情况，大家可自行画示意图理解即可！
前置知识
二维直线
直线方程：
二维空间下，直线方程一般有几种表达形式，如： y = k x + b , a x + b y − c = 0 y = kx+b, ax + by - c = 0 y=kx+b,ax+by−c=0 等等，但是为了工程方面的应用，可以用向量进行表达，如下：
a x + b y = d ( a b ) ⋅ ( x y ) = d \begin{align} ax +by &= d\\ \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}&=d \end{align} ax+by(ab)⋅(xy)=d=d
记 n ⃗ = ( a b ) \vec{n} = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} n =(ab) 且它为单位向量， p ⃗ = ( x y ) \vec{p}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} p =(xy)，则带入上式可得： n ⃗ ⋅ p ⃗ = d \vec{n} \cdot \vec{p} = d n ⋅p =d
上式表达的本质，可理解为：所有满足向 n ⃗ \vec{n} n 投影长度为d的点集合，示意图如下：
距离本质：
当d值变化时，表达的是沿着 n ⃗ \vec n n 方向滑动的变化情况，当 d > 0 d>0 d>0，往 n ⃗ \vec n n 指向的方向进行滑动，当 d < 0 d<0 d<0，往反方向滑动，当 d = = 0 d==0 d==0 时，则表达过原点的直线！如下图所示：
点和直线距离关系：
当我们将空间中任一点 p 0 = ( x 0 , y 0 ) p_0 = (x_0,y_0) p0=(x0,y0)，带入上述方程，究竟代表什么含义呢？
其实我们得到的就是 p 0 p_0 p0 在 n ⃗ \vec n n 上的一个投影，具体如下：
n ⃗ ⋅ p ⃗ 0 − d > 0 ，则表示该点在直线的 n ⃗ 方向正侧 n ⃗ ⋅ p ⃗ 0 − d < 0 ，则表示该点在直线的 n ⃗ 方向反侧 n ⃗ ⋅ p ⃗ 0 − d = 0 ，则表示该点就在直线上 \vec n \cdot \vec p_0 - d > 0，则表示该点在直线的\vec n 方向正侧\\ \vec n \cdot \vec p_0 - d < 0，则表示该点在直线的\vec n 方向反侧\\ \vec n \cdot \vec p_0 - d = 0，则表示该点就在直线上\\ n ⋅p 0−d>0，则表示该点在直线的n 方向正侧n ⋅p 0−d<0，则表示该点在直线的n 方向反侧n ⋅p 0−d=0，则表示该点就在直线上
示意图如下所示：
三维平面
平面方程
根据二维直线表达，同理在三维中，一个平面方程可表达成： a x + b y + c z = d ax+by+cz = d ax+by+cz=d，同理记 n ⃗ = ( a b c ) \vec{n} = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} n = abc ， p ⃗ = ( x y z ) \vec{p} = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} p = xyz
则可得到 n ⃗ ⋅ p ⃗ = d \vec n \cdot \vec p = d n ⋅p =d
类似的当我们保证 n ⃗ \vec n n 为单位向量时，此关系式可以理解为三维空间中，所有满足向 n ⃗ \vec{n} n 投影长度为d的点集合，其实也就是一个平面，如下图所示：
距离本质：
当d值变化时，表达的是沿着 n ⃗ \vec n n 方向滑动的变化情况，当 d > 0 d>0 d>0，往 n ⃗ \vec n n 指向的方向进行滑动，当 d < 0 d<0 d<0，往反方向滑动，当 d = = 0 d==0 d==0 时，则表达过平面的点！如下图所示：
点和直线距离关系：
当我们将空间中任一点 p 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) p_0 = (x_0,y_0,z_0) p0=(x0,y0,z0)，带入上述方程，究竟代表什么含义呢？
其实我们得到的就是 p 0 p_0 p0 在 n ⃗ \vec n n 上的一个投影，具体如下：
n ⃗ ⋅ p ⃗ 0 − d > 0 ，则表示该点在平面的 n ⃗ 方向正侧 n ⃗ ⋅ p ⃗ 0 − d < 0 ，则表示该点在平面的 n ⃗ 方向反侧 n ⃗ ⋅ p ⃗ 0 − d = 0 ，则表示该点就在平面上 \vec n \cdot \vec p_0 - d > 0，则表示该点在平面的\vec n 方向正侧\\ \vec n \cdot \vec p_0 - d < 0，则表示该点在平面的\vec n 方向反侧\\ \vec n \cdot \vec p_0 - d = 0，则表示该点就在平面上\\ n ⋅p 0−d>0，则表示该点在平面的n 方向正侧n ⋅p 0−d<0，则表示该点在平面的n 方向反侧n ⋅p 0−d=0，则表示该点就在平面上
示意图如下所示：
类似的，咱们也可以延伸思维，拓展到高维空间的对应表达形式，从而得出相应的结论！
Suntherland hodgman算法
基本介绍
Sutherland-Hodgman算法是一种用于多边形裁剪的经典计算机图形学算法。它的主要功能是将一个多边形裁剪到一个凸多边形窗口内，输出裁剪后的多边形。该算法由Ivan Sutherland和Gary Hodgman在1974年提出。
基本思想
Suntherland hodgman算法也叫逐边裁剪法，它将待裁剪目标多边形的每条边逐一与裁剪窗口的每条边比较，然后生成新的顶点集合，最终得到裁剪后的多边形。
二维举例
问题描述：
已知多边形有序顶点集合 V = { v 1 , v 2 , . . . , v n } V = \{v_1,v_2,...,v_n\} V={v1,v2,...,vn} ，几组不同的窗口边线表达方程，如： n ⃗ 1 ∗ p = d 1 ， n ⃗ 2 ∗ p = d 2 ， n ⃗ 3 ∗ p = d 3 ， n ⃗ 4 ∗ p = d 4 \vec n_1 * p = d_1，\vec n_2 * p = d_2，\vec n_3 * p = d_3，\vec n_4 * p = d_4 n 1∗p=d1，n 2∗p=d2，n 3∗p=d3，n 4∗p=d4
核心思路：
- 遍历顶点集合的顺序顶点对 p 1 = ( v 1 , v 2 ) , p 2 = ( v 2 , v 3 ) , . . . , p n = ( v n , v 1 ) p_1 = (v_1,v_2),p_2 = (v_2,v_3),...,p_n = (v_n,v_1) p1=(v1,v2),p2=(v2,v3),...,pn=(vn,v1) ，针对每次顶点对的顶点，带入直线方程进行判定内外情况，从而做出不同的顶点选择
- 针对每个窗口边线方程，进行迭代，得到最终顶点集。每一轮的输入顶点集为上一轮的输出，首轮迭代的输入为多边形有序顶点集！
遍历顶点对的不同情况
假设我们设顶点对的顶点对 ( S , P ) (S,P) (S,P)，则有如下几种情况：
- 情况1：S外侧，P内侧 => 不选择顶点
- 情况2：S内侧，P外侧 => 选择交点I
- 情况3：S外侧，P内侧 => 先选择交点I，然后选择P
- 情况4：S内侧，P内侧 => 选择顶点P
算法举例1：
输入顶点集合：0、1、2，如下图：
依次考察右侧边线和顶点对 ( 0 , 1 ) ， ( 1 , 2 ) , ( 2 , 0 ) (0,1)，(1,2),(2,0) (0,1)，(1,2),(2,0) 的关系，然后做出不同的考察，最终得到顶点集 ( 0 ′ , 1 , 1 ′ ) (0',1,1') (0′,1,1′) ，咱们将这个结果作为输入，针对另外一测边线进行类似的操作，直到四条边线都迭代完成，最终得到的结果就是 ( 0 ′ , 1 , 1 ′ ) (0',1,1') (0′,1,1′)
算法举例2：
输入顶点集合：0、1、2
先考察上侧边，如下图：
得到结果顶点集合 ( 0 ′ , 1 , 2 , 2 ′ ) (0',1,2,2') (0′,1,2,2′)
然后考察右侧边，如下图：
依次类推，另外两边，最终得到结果就是 ( 1 , 1 ′ , 2 ′ ′ , 0 ′ ) (1,1',2'',0') (1,1′,2′′,0′)
算法补充：
1、三角形重建
上述得到了剪裁后的多边形顶点序列，但在图形学中，渲染基本以三角形为图元，所以一般还需要多一个步骤：三角形重建。
往往我们都是以第一个顶点固定，后两个顶点从后面以此类推。如上算法举例2结果为例，形成三角形 ( 1 , 1 ′ , 2 ′ ′ ) 和 ( 1 , 2 ′ ′ , 0 ′ ) (1,1',2'')和(1,2'',0') (1,1′,2′′)和(1,2′′,0′)。
2、交点插值
当出现将内外侧与边线的交点作为顶点选择的时候，咱们如何计算这个交点的位置？又如何计算它的顶点颜色？uv坐标呢？
其实这个问题，在之前的直线插值早已解释过。如下图所示：
那么如何计算PS和边线的交点I呢？
已知P点和S点的属性值和位置，假设边线方程为 n ⃗ ⋅ p ⃗ = d \vec n \cdot \vec{p} = d n ⋅p =d ，将外侧顶点S带入，得到有向距离 d s = n ⃗ ⋅ S ⃗ d_s = \vec n \cdot \vec S ds=n ⋅S ，同理，也得到内侧顶点P的有向距离 d p = n ⃗ ⋅ P ⃗ d_p = \vec n \cdot \vec P dp=n ⋅P
这时候我们知道 d s > 0 且 d p < 0 d_s > 0 且 d_p < 0 ds>0且dp<0 ，前面的前置知识已经给出解释过了。这时候就可以利用之前的知识，求出权重 $ weight = d_s / (d_s - d_p)$
从而求出交点的属性，如下：
f ( I ) = w e i g h t ∗ f ( P ) + ( 1 − w e i g h t ) ∗ f ( S ) f(I) = weight * f(P) + (1 - weight) * f(S) f(I)=weight∗f(P)+(1−weight)∗f(S)
三维拓展
在三维情况下，裁剪边变成了裁剪平面，维度上升而已，其实本质没有变化，这里简单介绍一下图形学中的应用。
一般来说，在透视除法之前，会将剪裁空间坐标系下的坐标，进行剪裁操作。从而保证透视除法后，得到正确的包围盒 [ − 1 , 1 ] 3 [-1,1]^3 [−1,1]3 的NDC坐标，并且位于摄像机前方。
因此剪裁空间的坐标必须满足以下不等式：
w c > 0 − 1 < x c w c < 1 − 1 < y c w c < 1 − 1 < z c w c < 1 w_c > 0\\ -1 < \frac{x_c}{w_c} < 1\\ -1 < \frac{y_c}{w_c} < 1\\ -1 < \frac{z_c}{w_c} < 1\\ wc>0−1<wcxc<1−1<wcyc<1−1<wczc<1
由于咱们需要之前类似的方程形式，所以进行转化为高维平面方程形式：
0 ∗ x c + 0 ∗ y c + 0 ∗ z c + 1 ∗ w c > 0 − 1 ∗ x c + 0 ∗ y c + 0 ∗ z c + 1 ∗ w c > 0 1 ∗ x c + 0 ∗ y c + 0 ∗ z c + 1 ∗ w c > 0 0 ∗ x c + − 1 ∗ y c + 0 ∗ z c + 1 ∗ w c > 0 0 ∗ x c + 1 ∗ y c + 0 ∗ z c + 1 ∗ w c > 0 0 ∗ x c + 0 ∗ y c + − 1 ∗ z c + 1 ∗ w c > 0 0 ∗ x c + 0 ∗ y c + 1 ∗ z c + 1 ∗ w c > 0 0*x_c + 0*y_c + 0*z_c + 1 * w_c > 0\\ -1*x_c + 0*y_c + 0*z_c + 1 * w_c > 0\\ 1*x_c + 0*y_c + 0*z_c + 1 * w_c > 0\\ 0*x_c + -1*y_c + 0*z_c + 1 * w_c > 0\\ 0*x_c + 1*y_c + 0*z_c + 1 * w_c > 0\\ 0*x_c + 0*y_c + -1*z_c + 1 * w_c > 0\\ 0*x_c + 0*y_c + 1*z_c + 1 * w_c > 0\\ 0∗xc+0∗yc+0∗zc+1∗wc>0−1∗xc+0∗yc+0∗zc+1∗wc>01∗xc+0∗yc+0∗zc+1∗wc>00∗xc+−1∗yc+0∗zc+1∗wc>00∗xc+1∗yc+0∗zc+1∗wc>00∗xc+0∗yc+−1∗zc+1∗wc>00∗xc+0∗yc+1∗zc+1∗wc>0
所以咱们就得到了 n ⃗ ⋅ p ⃗ = 0 \vec n \cdot \vec p = 0 n ⋅p =0 的边界方程表达式， n ⃗ \vec n n 就是上述每一个方程的系数组成的向量，如 { 0 , 0 , 0 , 1 } ， { − 1 , 0 , 0 , 1 } \{0,0,0,1\}，\{-1,0,0,1\} {0,0,0,1}，{−1,0,0,1}等等，一共7组！
边界方程也有了，需要裁剪的多边形顶点也有了，思路也就类似二维，代码就是体力劳动喽！
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