「动态规划」买卖股票的最佳时机含手续费

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给定一个整数数组prices，其中prices[i]表示第i天的股票价格，整数fee代表了交易股票的手续费用。你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。这里的一笔交易指买入持有到卖出的整个过程，每笔交易你只需要支付一次手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再购买股票了。请计算你能获得的最大利润。

要分清楚状态和操作，我会用「」把状态和操作都标记出来。注意到，第i天结束后，手里有可能有股票，也就是处于「买入」状态；手里也有可能没有股票，也就是处于「卖出」状态。对于前者，接下来可以执行的操作有「持有股票」和「卖出股票」；对于后者，接下来可以执行的操作有「观望」和「买入股票」。在进行「买入股票」和「卖出股票」时会引起利润变化，前者减少利润，后者增加利润。「卖出股票」时，进行了一笔完整的交易，要缴纳手续费。

我们用动态规划的思想来解决这个问题。首先确定状态表示。我们用f表示处于「买入」状态，g表示处于「卖出」状态，i表示时间处于第i天结束时，表中的值表示最大利润。也就是说：

f[i]表示在第i天结束时，处于「买入」状态，此时能获得的最大利润。
g[i]表示在第i天结束时，处于「卖出」状态，此时能获得的最大利润。

接下来推导状态转移方程：

考虑f[i]。在第i天结束时处于「买入」状态，分类讨论：

如果第i-1天结束时处于「买入」状态，并且在第i天「持有股票」，有f[i]=f[i-1]。
如果第i-1天结束时处于「卖出」状态，并且在第i天「买入股票」，有f[i]=g[i-1]-prices[i]。

考虑g[i]。在第i天结束时处于「卖出」状态，分类讨论：

如果第i-1天结束时处于「卖出」状态，并且在第i天「观望」，有g[i]=g[i-1]。
如果第i-1天结束时处于「买入」状态，并且在第i天「卖出股票」，有g[i]=f[i-1]+prices[i]-fee。

综上，有：f[i]=max(f[i-1],g[i-1]-prices[i])，g[i]=max(g[i-1],f[i-1]+prices[i]-fee)。

接着考虑初始化的问题。

对于f[0]，要在第0天结束时处于「买入」状态，就要在第0天「买入股票」，所以f[0]=-prices[0]。
对于g[0]，要在第0天结束时处于「卖出」状态，就要在第0天「观望」，所以g[0]=0。

填表时应按照从左往右的顺序，同时填f表和g表。最后应返回g[n-1]，因为只有最后一天结束时处于「卖出」状态，才有可能获得最大利润。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
        int n = prices.size();
        // 创建dp表
        vector<int> f(n);
        auto g = f;
        // 初始化g[0]=0
        f[0] = -prices[0];
        // 填表
        for (int i = 1; i < n; i++)
        {
            f[i] = max(f[i-1], g[i-1] - prices[i]);
            g[i] = max(g[i-1], f[i-1] + prices[i] - fee);
        }
        return g[n-1];
    }
};