刚体运动描述:欧拉角与四元数

在机器人学中,刚体的运动描述是非常重要的,特别是当我们需要精确控制机器人的姿态时。欧拉角和四元数是两种常用的描述刚体在三维空间中旋转的方法。下面将分别介绍这两种方法并给出其特点。

欧拉角

定义与特点

  1. 定义:欧拉角是通过绕一个三维坐标系的三个轴依次旋转来定义的,通常按照某个固定的旋转顺序(如XYZ、ZYX等)进行。
  2. 表示:欧拉角由三个角度组成,分别对应绕三个坐标轴的旋转。例如,在RPY(Roll-Pitch-Yaw)表示法中,Roll是绕X轴的旋转,Pitch是绕Y轴的旋转,Yaw是绕Z轴的旋转。
  3. 问题:欧拉角存在一个被称为"万向节锁"的奇异现象。当第二个旋转轴的角度为90°或其倍数时,系统会丢失一个自由度,导致旋转矩阵的某个列为常数,从而在求解欧拉角时出现多解情况。

四元数

定义与特点

  1. 定义 :四元数是一个四维向量,可以表示为q = w + xi + yj + zk,其中w是实数部分(或标量部分),而x, y, z是虚数部分(或向量部分)。四元数通常用于表示三维空间中的旋转。
  2. 与旋转的关系 :一个四元数q可以表示绕一个通过原点的轴旋转某个角度的操作。具体来说,如果有一个轴定义为单位向量[rx, ry, rz],旋转角度为θ,则对应的四元数为q = [cos(θ/2), sin(θ/2)rx, sin(θ/2)ry, sin(θ/2)rz]
  3. 优势:四元数避免了欧拉角的万向节锁问题,因为它在表示旋转时使用了四个参数而不是三个,从而能够更稳定地描述旋转。此外,四元数在插值和组合旋转方面也具有优势。
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