DeepSORT（目标跟踪算法）中的计算观测值与状态估计的马氏距离
flyfish
在目标跟踪中，使用马氏距离可以帮助判断某个观测值是否与当前的状态估计一致。
gating_distance 是一个方法，用于计算状态分布和观测值之间的门限距离（gating distance）。门限距离通常用于数据关联和验证测量值是否合理。提示用户可以从 chi2inv95 中获取适当的距离阈值。如果only_position 为 False，则使用4自由度的卡方分布，否则使用2自由度的卡方分布。
使用 gating_distance 方法计算观测值与状态估计的马氏距离，并判断哪些观测值在合理范围内.
在源码中有这样一句
py
cholesky_factor = np.linalg.cholesky(covariance)将正定矩阵分解为一个下三角矩阵及其转置的过程
Cholesky 分解是一种将正定矩阵分解为一个下三角矩阵及其转置的过程。具体来说，如果 A A A 是一个对称正定矩阵，那么它可以被分解为：
A = L L T A = LL^T A=LLT
其中 L L L 是一个下三角矩阵。
具体例子
假设我们有一个 3x3 的对称正定矩阵：
4 12 − 16 12 37 − 43 − 16 − 43 98 \] \\begin{bmatrix}4 \& 12 \& -16 \\\\ 12 \& 37 \& -43 \\\\ -16 \& -43 \& 98 \\end{bmatrix} 412−161237−43−16−4398 我们要找到下三角矩阵 ( L ) 使得： A = L L T A = LL\^T A=LLT #### 计算过程 1. **初始化 ( L ) 矩阵** ： ( L ) 初始化为一个与 ( A ) 维度相同的零矩阵： L = \[ l 11 0 0 l 21 l 22 0 l 31 l 32 l 33 \] L = \\begin{bmatrix} l_{11} \& 0 \& 0 \\\\ l_{21} \& l_{22} \& 0 \\\\ l_{31} \& l_{32} \& l_{33} \\end{bmatrix} L= l11l21l310l22l3200l33 2. **计算 L L L 的元素**： * **计算(l_{11} )** ： l 11 = a 11 = 4 = 2 l_{11} = \\sqrt{a_{11}} = \\sqrt{4} = 2 l11=a11 =4 =2 * **计算 ( l_{21} )** ： l 21 = a 21 l 11 = 12 2 = 6 l_{21} = \\frac{a_{21}}{l_{11}} = \\frac{12}{2} = 6 l21=l11a21=212=6 * **计算 ( l_{31} )** ： l 31 = a 31 l 11 = − 16 2 = − 8 l_{31} = \\frac{a_{31}}{l_{11}} = \\frac{-16}{2} = -8 l31=l11a31=2−16=−8 * **计算 ( l_{22} )** ： l 22 = a 22 − l 21 2 = 37 − 6 2 = 37 − 36 = 1 l_{22} = \\sqrt{a_{22} - l_{21}\^2} = \\sqrt{37 - 6\^2} = \\sqrt{37 - 36} = 1 l22=a22−l212 =37−62 =37−36 =1 * **计算 ( l_{32} )** ： l 32 = a 32 − l 31 l 21 l 22 = − 43 − ( − 8 ) ⋅ 6 1 = − 43 + 48 1 = 5 l_{32} = \\frac{a_{32} - l_{31} l_{21}}{l_{22}} = \\frac{-43 - (-8) \\cdot 6}{1} = \\frac{-43 + 48}{1} = 5 l32=l22a32−l31l21=1−43−(−8)⋅6=1−43+48=5 * **计算 ( l_{33} )** ： l 33 = a 33 − l 31 2 − l 32 2 = 98 − ( − 8 ) 2 − 5 2 = 98 − 64 − 25 = 9 = 3 l_{33} = \\sqrt{a_{33} - l_{31}\^2 - l_{32}\^2} = \\sqrt{98 - (-8)\^2 - 5\^2} = \\sqrt{98 - 64 - 25} = \\sqrt{9} = 3 l33=a33−l312−l322 =98−(−8)2−52 =98−64−25 =9 =3 3. **构造 ( L ) 矩阵** ： L = \[ 2 0 0 6 1 0 − 8 5 3 \] L = \\begin{bmatrix} 2 \& 0 \& 0 \\\\ 6 \& 1 \& 0 \\\\ -8 \& 5 \& 3 \\end{bmatrix} L= 26−8015003 4. **验证分解结果** ： 我们可以验证 L L T = A LL\^T = A LLT=A： L L T = \[ 2 0 0 6 1 0 − 8 5 3 \] \[ 2 6 − 8 0 1 5 0 0 3 \] = \[ 4 12 − 16 12 37 − 43 − 16 − 43 98 \] = A LL\^T = \\begin{bmatrix} 2 \& 0 \& 0 \\\\ 6 \& 1 \& 0 \\\\ -8 \& 5 \& 3 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 2 \& 6 \& -8 \\\\ 0 \& 1 \& 5 \\\\ 0 \& 0 \& 3 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 4 \& 12 \& -16 \\\\ 12 \& 37 \& -43 \\\\ -16 \& -43 \& 98 \\end{bmatrix} = A LLT= 26−8015003 200610−853 = 412−161237−43−16−4398 =A 因此，分解是正确的。 #### Python 示例 我们可以使用 NumPy 来计算 Cholesky 分解： ```python import numpy as np # 定义矩阵 A A = np.array([ [4, 12, -16], [12, 37, -43], [-16, -43, 98] ]) # 计算 Cholesky 分解 L = np.linalg.cholesky(A) # 输出结果 print("L:\n", L) print("L * L.T:\n", np.dot(L, L.T)) ``` 运行上述代码，您将得到下三角矩阵 L L L 和验证结果 L L T LL\^T LLT。 #### 结果 ```python L: [[ 2. 0. 0.] [ 6. 1. 0.] [-8. 5. 3.]] L * L.T: [[ 4. 12. -16.] [ 12. 37. -43.] [-16. -43. 98.]] ``` 矩阵 A A A 成功地分解为 L L T LL\^T LLT。 ### 计算观测值与状态估计的马氏距离的函数说明 ```py def gating_distance(self, mean, covariance, measurements, only_position=False): mean, covariance = self.project(mean, covariance) if only_position: mean, covariance = mean[:2], covariance[:2, :2] measurements = measurements[:, :2] cholesky_factor = np.linalg.cholesky(covariance) d = measurements - mean z = scipy.linalg.solve_triangular( cholesky_factor, d.T, lower=True, check_finite=False, overwrite_b=True) squared_maha = np.sum(z * z, axis=0) return squared_maha ``` #### 参数说明： * **mean**：状态分布的均值向量（8维）。 * **covariance**：状态分布的协方差矩阵（8x8维）。 * **measurements**：Nx4维矩阵，包含N个观测值，每个观测值的格式为 (x, y, a, h)，其中 (x, y) 是边界框的中心位置，a 是长宽比，h 是高度。 * **only_position**（可选）：如果为 True，则只计算中心位置 (x, y) 的距离 #### 返回值说明： 返回一个长度为 N 的数组，其中第 i 个元素包含 (mean, covariance) 和 measurements\[i\] 之间的平方马氏距离。 #### 具体步骤 * **1 投影到测量空间** ： mean, covariance = self.project(mean, covariance) 将状态均值和协方差矩阵投影到测量空间。 * **2 简化计算（如果只考虑位置）** ： if only_position: 部分只考虑位置部分，简化均值和协方差矩阵。 * **3 计算马氏距离** ： cholesky_factor = np.linalg.cholesky(covariance) 计算协方差矩阵的 Cholesky 分解。 d = measurements - mean 计算观测值与均值的差值。 z = scipy.linalg.solve_triangular(cholesky_factor, d.T, lower=True, check_finite=False, overwrite_b=True) 通过解三角方程计算标准化残差。 squared_maha = np.sum(z \* z, axis=0) 计算平方马氏距离。