【算法模板】图论：欧拉路

欧拉路径（欧拉通路）：通过图中所有边的简单路。

欧拉回路：闭合的欧拉路径。（即一个环，保证每条边都通过且仅通过一次）

欧拉图：包含欧拉回路的图。

半欧拉图：具有欧拉路径但不具有欧拉回路的图

欧拉路存在性

首先，图应该是连通图。在编程时用DFS或者并查集来判断连通性。

其次，判断图是否存在欧拉路或欧拉回路：

无向连通图的判断条件。如果图中的点全都是偶点，则存在欧拉回路；任意一点都可以作为起点和终点。如果只有两个奇点，则存在欧拉路，其中一个奇点是起点，另一个是终点。不可能出现有奇数个奇点的无向图。
有向连通图的判断条件。把一个点上的出度记为1、入度记为-1，这个点上所有的出度和入度相加就是它的度数。一个有向图存在欧拉回路，当且仅当该图所有点的度数为0。如果只有一个度数为1的点、一个度数为-1的点，其他所有点的度数为0，那么存在欧拉路径，其中度数为1的是起点、度数为-1的是终点。

DFS算法

选择一个起始顶点作为当前顶点，初始化一个空的路径。
从当前顶点出发，逐步遍历其相邻的边和顶点。
对于每条遍历过的边，标记为已访问，并将其从图中删除。
递归地从相邻顶点进行DFS搜索，直至无法再往下进行为止。
如果所有的边都被访问过且当前顶点的出度为0，则把当前顶点添加到路径上，并返回上一级顶点。
继续回溯，寻找其他可能的路径，直到遍历完所有的顶点和边。

例题

P2731 USACO3.3 骑马修栅栏 Riding the Fences - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=500;
int main(){
    int m;cin>>m;
    vector<vector<int>> G(N+1,vector<int>(N+1));
    vector<int> degree(N+1);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int u,v;cin>>u>>v;
        G[u][v]++,G[v][u]++;
        degree[u]++,degree[v]++;
    }
    int start=1;
    for(int i=1;i<=N;i++)if(degree[i]&1){
        start=i;
        break;
    }
    vector<int> ans;
    function<void(int)> dfs=[&](int x){
        for(int i=1;i<=N;i++)
            if(G[x][i]){
                G[x][i]--,G[i][x]--;
                dfs(i);
            }
        ans.push_back(x);
    };
    dfs(start);
    reverse(ans.begin(),ans.end());
    for(int i:ans)cout<<i<<endl;
    return 0;
}

Fluery算法*

选择起点：
- 如果存在欧拉回路，则可以从任意顶点开始。
- 如果存在欧拉路径，则从度数为奇数的一个顶点开始。
路径构建：
- 选择一条边，但要避免选择桥（bridge），除非没有其他选择。桥是一条如果移除会导致图变得不连通的边。
- 删除选择的边，并移动到下一个顶点。
- 重复上述步骤，直到所有边都被遍历。
输出路径：
- 最后得到的路径即为欧拉路径或欧拉回路。

Hierholzer算法*

选择起点

选择任意一个顶点作为起点。
构建子回路

从起点出发，沿着未被访问过的边行走，直到回到起点，形成一个子回路。每次选择下一条边时，都确保该边未被访问过。
合并回路

如果存在未被访问的边，则从该回路中的某个包含未被访问边的顶点出发，重复步骤2，形成一个新的子回路。将新子回路插入到原回路中。
重复

重复步骤3，直到所有的边都被访问过。
输出欧拉回路

最终得到的路径即为欧拉回路。