矩阵分析与应用1-矩阵代数基础

矩阵分析与应用1-矩阵代数基础

  • [1 矩阵的基本运算](#1 矩阵的基本运算)
  • [2 矩阵的初等变换](#2 矩阵的初等变换)
  • [3 向量空间、线性映射与Hilbert空间](#3 向量空间、线性映射与Hilbert空间)
    • [3.1 集合的基本概念](#3.1 集合的基本概念)
    • [3.2 向量空间](#3.2 向量空间)
    • [3.3 线性映射](#3.3 线性映射)
    • [3.4 内积空间、赋范空间与Hilbert空间](#3.4 内积空间、赋范空间与Hilbert空间)
      • [3.4.1 内积与内积向量空间的定义](#3.4.1 内积与内积向量空间的定义)
      • [3.4.2 范数与赋范向量空间的定义](#3.4.2 范数与赋范向量空间的定义)
  • [4 内积与范数](#4 内积与范数)
  • [5 随机向量](#5 随机向量)
  • [6 矩阵的性能指标](#6 矩阵的性能指标)
  • [7 逆矩阵与伪逆矩阵](#7 逆矩阵与伪逆矩阵)
  • [8 Moore-Penrose逆矩阵](#8 Moore-Penrose逆矩阵)
  • [9 矩阵的直和与Hadamard积](#9 矩阵的直和与Hadamard积)
  • [10 Kronecker积与Khatri-Rao积](#10 Kronecker积与Khatri-Rao积)
  • [11 向量化与矩阵化](#11 向量化与矩阵化)
  • [12 稀疏表示与压缩感知](#12 稀疏表示与压缩感知)

1 矩阵的基本运算

物理问题的数学化,数学结果的物理化:从物理问题的数学建模出发,引出矩阵问题,对得到的矩阵分析结果尽可能给予物理解释,赋予物理含义。即物理问题->数学抽象->数学演算->形象解释。
向量是矩阵的特例,标量是向量的特例,所以,满足矩阵运算的法则必然满足数量的运算。

对矩阵的函数运算,可以化为幂级数的运算形式,其幂级数的运算形式和标量函数的幂级数的运算形式完全一样。

2 矩阵的初等变换

矩阵的初等行变换:行互换;行乘数;行乘数叠加

行等价矩阵:A经初等行变换得到B

等价关系的性质:

(i)  反身性 A~A;

(ii)  对称性 若A~B;则 B~A;

(iii) 传递性 若A~B, B~C, 则A~C;

经初等行变换将矩阵化为行阶梯型矩阵、最简型矩阵和标准形矩阵::

行初等变换得到B1、B2

B1是行阶梯形矩阵,其特点是:阶梯线下方的数全为0;每个台阶只有一行,台阶数即是非零的行数,阶梯线的竖线(每段竖线的均为一行)后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的首非零元,称为该行的首项元素,首项元素为1则称为改行的首1元素。

B2是行最简型矩阵,其特点是:非零行的首非零元为1,且这些非零元所在的列的其它元素都为0。

对行最简形矩阵再施以初等列变换,得标准型矩阵:

3 向量空间、线性映射与Hilbert空间

数学对象的定义建立在其算法的定义的基础之上,算法的定义应保证逻辑完备、没有矛盾。

3.1 集合的基本概念


X x Y={(x,y)| x属于X,y属于Y}
(x,y)为有序对,X x Y为有序对的集合----X和Y的笛卡尔积

3.2 向量空间



定理2 Rn的子集合W是Rn的子空间,当且仅当以下三个条件满足:

(1)每当向量x, y属于W,则a +y 也属于W,即满足加法的闭合性:

(2)每当向量x属于W,且 a为标量时,则ax属于W,即满足与标量乘积的闭合性。

(3)零向量0是W的元素。

3.3 线性映射

定理 线性空间与线性映射的关系

3.4 内积空间、赋范空间与Hilbert空间

3.4.1 内积与内积向量空间的定义

若对所有x,y,z∈ V和α、β ∈K,映射函数<,>:V x V →K满足以下三条公理:

(1)共轭对称性 <x,y>=<y,x>*

(2)第一变元的线性性 <α x+β y,z >=α< x,z >+β< y,z >

(3)非负性 <x,x> ≥0,并且<x,x> =0 <=> x=0 (严格正性)

则称<x,y>为向量 x与y的内积,V为内积向量空间。

两个向量的内积可以度量他们之间的夹角 cos θ =<x,y>/ ( √<x,x> √<y,y> )
如前所述,数学对象的定义建立在其算法的定义的基础之上,向量空间 具有向量的加法、标量与向量的乘法;内积向量空间 更进一步,还具有两个向量的乘法(内积),可以度量两个向量之间的夹角;如果还能够增加关于向量的长度、距离和邻域等测度的话,那么向量空间无疑将更加实用和完美,而向量的范数能够担负这一重任。
??? 显然,数学研究的核心是算法的研究,失去了算法,数学研究就失去了方向和意义。

3.4.2 范数与赋范向量空间的定义

4 内积与范数

5 随机向量

6 矩阵的性能指标

7 逆矩阵与伪逆矩阵

8 Moore-Penrose逆矩阵

9 矩阵的直和与Hadamard积

10 Kronecker积与Khatri-Rao积

11 向量化与矩阵化

12 稀疏表示与压缩感知

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