线性方程组、齐次与非齐次的基本概念（线性代数基础）
线性方程
一个线性方程是指其变量的每项都是线性的，即每个变量的最高次方为1。一般形式如下：
a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n = b a_1x_1+a_2x_2+⋯+a_nx_n=b a1x1+a2x2+⋯+anxn=b
其中：
- a 1 , a 2 , ... , a n a_1,a_2,...,a_n a1,a2,...,an 是常数系数
- x 1 , x 2 , ... , x n x1,x2,...,xn x1,x2,...,xn 是未知数
- b b b 是常数项（自由项）
线性方程组
当多个线性方程共同求解时，称为一个线性方程组。一般形式如下：
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m \left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \vdots \\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_{m} \end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm
其中：
- 每个方程的形式与上面的线性方程相同
- 系数 a i j a_{ij} aij 代表第 i i i 个方程中第 j j j 个未知数的系数
- b i b_i bi 是第 i i i 个方程的常数项
- m m m 是方程的数量， n n n 是未知数的数量
线性方程组解的类型
- 唯一解：只有一个解。
- 无解：没有解，方程组不相容。
- 无穷多解 ：有无穷多个解，通常发生在齐次方程组或当方程组的系数矩阵 A A A 的秩 r ( A ) r(A) r(A) 小于未知数的总数 n n n 时。
齐次 （Homogeneous）与非齐次（Non-Homogeneous）
英文单词 Homogeneous 的含义是"同质的"。在数学中，齐次（Homogenous）往往代表一个数学概念/表达式，在具有某方面++同质或对称特性++。
在多项式领域，一个齐次多项式是指每一项的所有变量的指数之和相同。
例如二元齐次多项式（两个变量的齐次多项式）：
P ( x , y ) = a x 3 + b x y 2 + c y 3 P(x,y)=ax^3 +bxy^2 +cy^3 P(x,y)=ax3+bxy2+cy3
其中每一项的变量指数之和都等于 3。
而非齐次（Non-Homogeneous）则是一个数学概念/表达式不具有++同质或对称特性++。
齐次的线性方程组
对于方程组来说，齐次线性方程组的定义是所有常数项都为零，可以写作
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = 0 ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = 0 \left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \vdots \\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=0 \end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=0
或简洁的矩阵表达为
A x = 0 Ax=0 Ax=0
- 这种形式表明，每个方程的右边都是零，这就意味着方程组具有一种"齐次性"，方程组的解 x x x 具有特殊的比例特性，即
对于任何标量 λ \lambda λ ， λ x \lambda x λx 也是方程组的解：
A ( λ x ) = λ ( A x ) = λ 0 ⃗ = 0 ⃗ A(\lambda x)=\lambda(Ax)=\lambda\vec{0}=\vec{0} A(λx)=λ(Ax)=λ0 =0
非齐次的线性方程组
相对地，当线性方程组包含非零的常数项时，它们被称为非齐次方程组：
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m \left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \vdots \\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_{m} \end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm
或简洁的矩阵表达为
A x = b Ax=b Ax=b
在这种情况下，方程组右边的常数向量不为零，这破坏了齐次性。这意味着方程组的解不再具有简单的比例性质，解向量 x x x 不再能够简单地通过比例缩放来获得其他解。