MATLAB多元函数梯度下降法找最小值-梯度演示-绘制梯度方向

赵药师2024-08-05 18:21

如果海森矩阵 在所有可能的参数值上都是正定的，则该函数是凸的；函数将呈现为光滑的碗状，使得训练过程相对简单。存在单一的全局最小值，不会有局部最小值或鞍点。

沿着梯度方向，函数变化最快。

x，y点的更新：x和y每次更新一点点，z根据公式可以计算出一个新的坐标点，但新的z不一定落在f（x,y）上，除非x，y的变化非常非常小。为了演示梯度的方向，我们将变化调大一些。

原理：

如果进行梯度下降，可以找到全局最优点。

程序：梯度下降版

Matlab 复制代码

clear;
syms x y;
z= x^2+y^2; % 定义函数
u=linspace(-10,10,100);
v=linspace(-10,10,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
z_value = subs(z, {x, y}, {U, V}); 
plot3(U,V,z_value,'g')
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
hold on;
dz_dx=diff(z,x);
dz_dy=diff(z,y);
learning=0.01;
epoch = 200;
Init_x=10;
Init_y=10;
for i=1:epoch
    dzx=subs(dz_dx,{x,y},{Init_x,Init_y});
    dzy=subs(dz_dy,{x,y},{Init_x,Init_y});
    z1=subs(z, {x, y}, {Init_x,Init_y});
    New_x=Init_x-learning*dzx;
    New_y=Init_y-learning*dzy;
    New_z=z1-learning*dzy-learning*dzx;%绘制箭头使用
   
    
    x1=[Init_x New_x];
    y1=[Init_y New_y];
    Z1=[z1 New_z];
    if(mod(i,10)==0)
    plot3(x1,y1,Z1,'r-')
    scatter3(New_x,New_y,New_z,'b>')
    hold on;
    end
    Init_x=New_x;
    Init_y=New_y;
    
end

程序：显示梯度方向版

为了更好的让大家看每一次迭代的梯度方向，所以在这一版中绘制了梯度的方向。

Matlab 复制代码

clear;
syms x y;
z= x^2+y^2; % 定义函数
u=linspace(-10,10,100);
v=linspace(-10,10,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
z_value = subs(z, {x, y}, {U, V}); 
plot3(U,V,z_value,'g')
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
hold on;
dz_dx=diff(z,x);
dz_dy=diff(z,y);
learning=0.01;
epoch = 200;
Init_x=10;
Init_y=10;
for i=1:epoch
    dzx=subs(dz_dx,{x,y},{Init_x,Init_y});
    dzy=subs(dz_dy,{x,y},{Init_x,Init_y});
    z1=subs(z, {x, y}, {Init_x,Init_y});
    New_x=Init_x-learning*dzx;
    New_y=Init_y-learning*dzy;
    %New_z=z1-learning*dzy-learning*dzx;%绘制箭头使用
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%梯度方向绘制
    if(mod(i,10)==0)
    New_x1=Init_x-3;
    New_y1=Init_y-3;
    New_z1=z1-3*dzy-3*dzx;
    x1=[Init_x New_x1];
    y1=[Init_y New_y1];
    Z1=[z1 New_z1];
    plot3(x1,y1,Z1,'r-')
    scatter3(New_x1,New_y1,New_z1,'b>')
    hold on;
    end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    Init_x=New_x;
    Init_y=New_y;
    
end