首先,我们使用三元组来描述稀疏矩阵,三元组包含矩阵元素的位置信息和元素值。使用三元组表来描述所有的非0元素。
然后,转置指的是将矩阵第i行第j列的元素调整到第j行第i列上。
一、一般的转置算法
一般的转置算法是首先遍历三元组表A,找到列数为0的元素,依次转置到B中。
然后,再次遍历遍历三元组表A,找到列数为1的元素,依次转置到B中。
遍历三元组表A,找到列数为2的元素,依次转置到B中。
.。。。
遍历三元组表A,找到列数为n-1的元素,依次转置到B中。
经过这样的遍历,算法时间复杂度为O(t*n)。 t为三元组个数,n为矩阵列数。
二、稀疏矩阵快速转置
那么,快速转置到底快在什么地方呢?
它通过找到一些规律,从而不需要多次遍历三元组表,只需要遍历一次三元组表就能将每一个元素转置成功,但它额外利用了辅助数组,因此它是以空间换时间。所以时间复杂度为O(n+t)。扫描三元组表是O(t),初始化数组是O(n)。所以时间复杂度是O(n+t)。
它找到的是什么规律呢?
1.转置前元素列号j就是转置后元素的行号
2.第j列中第一个非零元素在转置矩阵中的存储位置为:前j列元素的个数之和
有了以上两点发现后,就可以实现快速转置了。
num[]数组用来记录每一列的非零元素个数,k[j]数组计算前j列元素的个数和。
这样,每一列的第一个非0元素就可以填入自己的位置,k[j]数组进行+1操作,为本列其他非0元素提供存储的位置下标。