树与二叉树
一 树的基本概念
树是一种非线性结构，其严格的数学定义是：如果一组数据中除了第一个节点（第一个节点称为根节点，没有直接前驱节点）之外，其余任意节点有且仅有一个直接前驱，有零个或多个直接后继，这样的一组数据形成一棵树。这种特性简称为一对多的逻辑关系。
常见例子
日常生活中，很多数据的组织形式本质上是一棵树。比如一个公司中的职员层级关系，一个学校中的院系层级关系，淘汰赛中的各次比赛队伍，一个家族中的族谱成员关系等，这些都是树状逻辑结构。由于树状结构表现出来都是具有层次的，因此也被称为层次结构。
通常，在逻辑上表达一棵抽象的树状结构的时候，习惯于将树根放在顶部，树枝树杈向下生长，如下图所示。
- 对于一棵树来说，有如下基本术语：
- 根（root）：
树的第一个节点，没有直接前驱。如上图中的A。
- 双亲节点（parent）：
某节点的直接前驱称为该节点的双亲节点，或成为父节点。例如上图中A是B的父节点。
- 孩子节点（child）：
某节点的直接后继称为该节点的孩子节点。例如上图中B、C、D均为A的孩子节点。
- 节点的层次（level）：
根节点所在的层次规定为第1层，其孩子所在的层次为第2层，后代节点以此类推。比如上图中节点E的层次是3。
- 节点的度（degree）：
一个节点拥有的孩子节点的总数，称为该节点的度。比如上图中节点B的度为2。
- 叶子（leaf）：
一棵树中度等于0的节点，被称为叶子，又称为终端节点。比如上图中K、L、F、G、M、I、J均为叶子。
- 树的高度（height）：
一棵树中所有节点的层次的最大值，称为这棵树的高度，又称为树的深度。比如上图的树的高度为4。
- 有序树与无序树：
一棵树中，如果某个节点的孩子节点之间是有次序的，则称这棵树为有序树，反之称为无序树。
有序树的定义：若将树中每个节点的各子树看成是从左到右有次序的(即不能互换)，则称该树为有序树(Ordered Tree)
无序树的定义：若将树中每个结点的各子树从左到右是没有次序的(即可以互换)，则称该树为无序树
二、二叉树
在各种不同的树状结构中，最常见也最重要的是二叉树（Binary Tree），下面是二叉树的定义：
- 有序树
- 任意节点的度小于等于2（一个节点最多两个孩子）
比如如下这棵树就是一棵二叉树。其中8是根节点，14是10的右孩子（因为二叉树是有序树，因此严格区分左右），而13则是14的左孩子。
为了方便对二叉树进行操作，通常会对一棵它进行标号：从上到下，从左到右进行标号：
注意：
没有孩子节点的地方也要标出来
对于二叉树而言，有如下特性：
- 第i层上，最多有个2^(i-1)节点。
- 高度为k的二叉树，最多有2^k-1个节点。
- 假设叶子数目为n0，度为2的节点数目为n2，则有：n0=n2+1
另外，还需掌握如下重要的基本概念：
- 满二叉树/完美二叉树：（full/perfect binary tree）
树的高度为k，且树的节点总数达到2^k−1的二叉树。
- 完全二叉树：（complete binary tree）
各节点的标号连续（上到下，从左到右进行编号）。
- 平衡二叉树：（balance binary tree）
任意节点的两棵子树高度差小于等于1。
- 退化二叉树：（degenerate binary tree）
所有的节点的度小于等于1，此时的二叉树实际上已经退化成链表。
有如下二叉树，请指出哪些是满二叉树？完全二叉树？平衡二叉树和退化二叉树？
以上图从左到右依次是：
平衡二叉树 完全二叉树/平衡二叉树 退化二叉树 完美二叉树/完全二叉树/平衡二叉树 平衡二叉树
存储形式
与其他逻辑结构类似，可以使用顺序存储，也可以使用链式存储。
- 顺序存储
由于在顺序存储，数据元素之间的逻辑关系是用物理位置来表达的，而二叉树中每一个节点都有一个对应的标号，因此可以使用标号来作为数组的下标，但除非是完美或者完全二叉树，否则会浪费存储空间，如下图所所示。
在顺序存储中，节点彼此之间的关系，要用到二叉树标号的基本特性。简单观察二叉树的标号会发现如下规律：
- 根节点标号为1，根节点没有父节点
- 标号为n的节点，其父节点的标号为n/2
- 标号为n的节点，其左孩子（若有）的标号为2n，其右孩子（若有）的标号为2n+1
根据以上结论，在顺序存储的二叉树中，虽然没有任何信息连接节点e和f，但根据他们的下标序号，可以得知e是f的父节点，且f是e的左孩子。
- 链式存储
链式存储思路与链表类似，使用指针来直接将节点的逻辑关系串起来，比如：
对于链式存储而言，二叉树节点的设计与链表无异，如下：
cpp
typedef struct node
{
datatype data; // 用户数据 数据域
struct node *lchild; // 左孩子树指针
struct node *rchild; // 右孩子树指针
}node;树的遍历（重点）
所谓遍历，就是按某种规律访问每一个节点。对于之前的线性表而言，遍历算法很简单，就是从头跑到尾，因为线性表是一对一的关系。但是树状结构是非线性的，因此从根节点开始遍历所有节点可以有多种不同的算法，常见的有：
- 前序遍历（根左右）：根节点 - 左子树 - 右子树
- 中序遍历（左根右）：左子树 - 根节点 - 右子树
- 后序遍历（左右根）：左子树 - 右子树 - 根节点
- 按层遍历：从上到下，从左到右依次访问节点
其中需要注意的是，前中后序遍历，都是递归算法。以前序遍历为例，当访问完根节点，进而要访问左子树时，由于左子树本身一棵二叉树，因此也需要进行前序遍历，也是先访问左子树的根节点，然后再依次访问左子树的左子树和左子树的右子树。比如：
前序遍历的序列是：F - [BADCE] - [GIH]
其中，F是根节点，而BADCE是左子树，GIH是右子树。
对左子树的访问，也符合前序遍历的定义，即：B - [A] - [DCE]
以此类推，对上述二叉树而言：
中序遍历的序列是：[ABCDE] - F - [GHI]
后序遍历的序列是：[ACEDB] - [HIG] - F
至于按层遍历，就按照字面意思理解即可，序列是：FBGADICEH
三、二叉树代码：
1.BST的基本概念
二叉树的其中一个重要应用，是提供一种快速查找数据的方法，即：将数据节点按照某种规律形成一棵二叉树，然后利用二叉树特殊的逻辑结构减少搜索数据的次数，提高查找的效率。
这种按照某种规律构建，用来提高搜索性能的二叉树，被称为搜索二叉树（Binary Search Tree），即BST。
具体而言，二叉树提高搜索效率的秘诀在于：按照"小-中-大"（当然"大-中-小"也是一样的）的规律来存储数据，即对于任意一个节点，都可以明确找到其值大于或等于其左孩子节点，且小于或等于其右孩子节点。如下图所示：
由于树中所有的节点均满足"小-中-大"的规律，因此当从根开始查找某个节点时速度比顺序查找要快得多，比如要找节点38，当发现38大于根节点13后，就可以确定13的左子树一定没有38，这就去掉了半边子树的节点。
因此，二叉搜索树又被称为二叉排序树、二叉查找树。
实际上，对于一棵二叉树而言，其搜索节点的时间复杂度，最糟糕的情形是其退化为链表，最乐观的情形是完美或完全二叉树，那么其搜索时间复杂度就是介于：
最差：T(n)=O(n)
最优：T(n)=O(log2n)
2.插入节点
对于BST而言，插入一个节点主要是要保持其"小-中-大"的逻辑不变，因此插入的节点的逻辑可以从根节点开始，一步步寻找新节点的"最终归宿"，比如在如下BST中，要插入新节点16，最终应该插入到节点17的左孩子处。
在实现插入算法的时候，由于树状结构本身是递归的，因此可以使用递归函数更优雅地实现插入算法。如下：
cpp
// 假设 BST 节点存储的数据类型是 int
node *newNode(int data)
{
// 准备好新节点，并将数据填入其中
node *new = (node *)malloc(sizeof(node));
if(new != NULL)
{
new->data = data;
new->lchild = NULL;
new->rchild = NULL;
}
return new;
}
// 将新节点new插入到一棵以 root 为根的 BST 中
// 插入节点后，返回新的 BST 的根
node *bstInsert(node *root, node *new)
{
// 若此时 BST 为空，则返回 new 使之成为二叉树的根节点
if(root == NULL)
return new;
// 若新节点比根节点小，那么新节点应该插入左子树中
// 至于插入到左子树的具体什么位置就不用管了，直接递归即可
if(new->data < root->data)
root->lchild = bstInsert(root->lchild, new);
// 若新节点比根节点大，那么新节点应该插入右子树中
// 至于插入到右子树的具体什么位置就不用管了，直接递归即可
else if(new->data > root->data)
root->rchild = bstInsert(root->rchild, new);
// 若已存在，则不处理 数据不允许相同
else
{
printf("%d已存在\n", new->data);
free(new);
}
//更新根节点
return root;
}根据上述BST的插入算法，依次输入如下数据：8、3、1、6、4、7、10、14、13
创建如下二叉树：
提示：
为了检验创建出来的二叉树是否正确，可以使用如下代码将二叉树以网页形式展现出来：
cpp
#define TREENODE node // 声明自定义的二叉树节点为TREENODE
#include "drawtree.h" // 包含画树代码
int main()
{
...
// 以网页形式展现二叉树
draw(root);
}其中，node是自己定义的二叉树的节点的类型，在包含 drawtree.h 之前定义 TREENODE 这个宏为 node ，即可展示对应二叉树。
drwatree.h画二叉树头文件可点击资源下载。
删除节点
删除一个BST的节点要比插入困难一点，但同样是要遵循一个原则，即：删除节点后仍然要保持"小-中-大"的逻辑关系。
假设要删除的节点是x，大体思路如下：
- 若要删除的节点小于根节点，则递归地在左子树中删除x
- 若要删除的节点大于根节点，则递归地在右子树中删除x
- 若要删除的节点恰好就是根节点，则分如下几种情况：
a. 根节点若有左子树，则用左子树中最大的节点max替换根节点，并在左子树中递归删除max
b. 否则，若有右子树，则用右子树中最小的节点min替换根节点，并在右子树中递归删除min
c. 否则，直接删除根节点
以下图为例，假设在一棵二叉树中要删除节点15，在找到节点之后，判断其有左子树，那么就沿着其左子树找到最右下角（最大）的节点11，替换要删除的节点15，然后再将多余的节点11删掉：
删除一个有左子树的节点过程
而如果要删除的节点没有左子树，只有右子树，那么情况是完全对称的，如下图所示，假设要删除节点25，由于25没有左子树，因此找到其右子树中最左下角（最小）的节点16，替换要删除的节点25，然后再将多余的节点16删掉：
删除一个只有右子树的节点过程
代码如下：
cpp
// 将数据（以整型为例）data从二叉树中删除
// 并返回删除之后的二叉树的根
node *bstRemove(node *root, int data)
{
node *tmp = NULL;
if(root == NULL)
return NULL;
// 若data小于根节点，则递归地在左子树中删除它
if(data < root->data)
root->lchild = bstRemove(root->lchild, data);
// 若data小于根节点，则递归地在左子树中删除它
else if(data > root->data)
root->rchild = bstRemove(root->rchild, data);
//找到相同的数据
else
{
// a. 根节点若有左子树，则用左子树中最大的节点max替换根节点
// 并在左子树中递归删除max
if(root->lchild != NULL)
{
node *max;
for(max=root->lchild; max->rchild!=NULL;
max=max->rchild);
root->data = max->data;
root->lchild = bstRemove(root->lchild, max->data);
}
// b. 否则，若有右子树，则用右子树中最小的节点min替换根节点
// 并在右子树中递归删除min
else if(root->rchild != NULL)
{
for(tmp=root->rchild; tmp->lchild!=NULL;
tmp=tmp->lchild);
root->data = tmp->data;
root->rchild = bst_remove(root->rchild, tmp->data);
}
// c. 否则，直接删除节点
else
{
free(root);
return NULL;
}
}
return root;
}遍历代码
以上述练习中的二叉树为例，采用前、中、后序遍历的算法示例代码如下：
cpp
// 前序遍历
void preOrder(node *root)
{
if(root == NULL)
return;
// 先访问根节点
printf("%d", root->data);
// 再依次使用前序算法，遍历其左、右子树
preOrder(root->lchild);
preOrder(root->rchild);
}
// 中序遍历
void inOrder(node *root)
{
if(root == NULL)
return;
// 先访问左子树
inOrder(root->lchild);
// 再访问根节点
printf("%d", root->data);
// 再访问右子树
inOrder(root->rchild);
}
// 后序遍历
void postOrder(node *root)
{
if(root == NULL)
return;
// 先依次使用后序算法，遍历其左、右子树
postOrder(root->lchild);
postOrder(root->rchild);
// 再访问根节点
printf("%d", root->data);
}对于按层遍历，则需要借助队列来达到这一目的。具体做法是：
- 创建一个队列，并将根节点指针入队
- 判断队列是否为空：
a. 是则退出程序
b. 否则让队头元素出队，并将队头的左右孩子依次入队
c. 循环步骤2
以下是示例代码：
cpp
void levelOrder(node *root)
{
if(root == NULL)
return;
// 将根节点入队
linkQueue *q = initQueue();
enQueue(q, root);
node *tmp;
while(!isEmpty(q))
{
// 出队并访问队头
outQueue(q, &tmp);
printf("%d\t", tmp->data);
// 依次将其左右孩子（若有）入队
if(tmp->lchild != NULL)
enQueue(q, tmp->lchild);
if(tmp->rchild != NULL)
enQueue(q, tmp->rchild);
}
printf("\n");
}三、结语
在本文中，我们深入探讨了数据结构中的树，特别是二叉树的基本概念与应用。二叉树作为一种重要的数据结构，不仅在算法设计中扮演着关键角色，还在实际应用中带来了高效的数据存储与检索方式。希望通过本文的讲解，能够帮助读者更好地理解二叉树的构建、遍历方法以及在解决问题时的实用性。
掌握二叉树及其变种，如平衡二叉树和红黑树，将为我们的编程能力和算法思维打下坚实的基础。期待大家在实际编程中灵活运用所学知识，感谢您阅读本篇博客，也欢迎您分享自己的想法和经验，让我们共同成长！如果您有任何问题或建议，欢迎在评论区留言。