动态规划-下降路径最小和

题目描述

给你一个 n x n 的方形整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径的最小和。

下降路径可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置(row, col)的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

解题思路

这个问题是一个典型的动态规划（Dynamic Programming, DP）问题。动态规划通常用于解决那些可以通过将原问题分解为较小子问题，然后解决这些子问题来解决整个问题的情况。在这个问题中，我们可以从最后一行开始向上回溯，计算到达每一行每一列的最小路径和。

步骤

初始化 ：
- 创建一个同样大小的DP数组（dp），用于存储到达每个位置的最小路径和。
- 将DP数组的第一行初始化为矩阵的第一行，因为从第一行开始没有选择，只能取矩阵本身的值。
填充DP数组 ：
- 从第二行开始，遍历矩阵的每一行和每一列。
- 对于每个位置 (i, j)（i 表示行，j 表示列），计算从下一行 (i+1, j-1)、(i+1, j)、(i+1, j+1) 中选择的最小路径和，并将这个最小路径和加上当前位置的值 matrix[i][j]，存入 dp[i][j]。
- 注意边界条件：当 j-1 < 0 或 j+1 >= n 时，需要忽略不存在的位置。
找出最小值 ：
- 遍历DP数组的最后一行，找出其中的最小值，即为所求的最小路径和。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {
        int n = matrix.size();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 0));
        // 初始化dp数组的第一行为matrix的第一行
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            dp[0][j] = matrix[0][j];
        }

        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                // 计算从下一行到当前位置的最小路径和
                int minNext = INT_MAX;
                // 考虑从正下方和左右对角线的下一个位置（如果存在）
                for (int k = max(0, j - 1); k <= min(n - 1, j + 1); ++k) {
                    minNext = min(minNext, dp[i - 1][k]);
                }
                // 更新dp[i][j]为当前位置的值加上从下一行到当前位置的最小路径和
                dp[i][j] = matrix[i][j] + minNext;
            }
        }
        int ret = dp[n - 1][0];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            if (ret >= dp[n - 1][i])
                ret = dp[n - 1][i];
        }
        return ret;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：O(n^2)，其中 n 是矩阵的维度。因为我们需要遍历矩阵的每个元素一次来填充DP数组，并再次遍历DP数组的最后一行来找出最小值。
空间复杂度：O(n^2)，用于存储DP数组。