LeetCode172. 阶乘后的零（2024秋季每日一题 1）

给定一个整数 n n n ，返回 n ! n! n! 结果中尾随零的数量。

提示 n ! = n ∗ ( n − 1 ) ∗ ( n − 2 ) ∗ . . . ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 3 * 2 * 1 n!=n∗(n−1)∗(n−2)∗...∗3∗2∗1

示例 1：

输入：n = 3
输出：0
解释：3! = 6 ，不含尾随 0

示例 2：

输入：n = 5
输出：1
解释：5! = 120 ，有一个尾随 0

示例 3：

输入：n = 0
输出：0

提示：

0 < = n < = 1 0 4 0 <= n <= 10^4 0<=n<=104

进阶： 你可以设计并实现对数时间复杂度的算法来解决此问题吗？

暴力枚举：

可以发现在乘的过程中，末尾 0 的个数总是增加的，所以可以考虑每乘一次，就将对应的末尾 0 计数，然后消除掉末尾 0，这样可以防止溢出

比如：120 * 5 = (12 * 5)0 = 600

优化：看代码，利用 10 的倍数取余，防止溢出，并且使得末尾 0 的个数不变

比如： x = 13859448592385 x = 13859448592385 x=13859448592385，但是后面的乘积是否有0，和末尾的最后几位数有关，可以只取最后几位

时间复杂度： O ( N l o g N ) O(NlogN) O(NlogN)

空间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int trailingZeroes(int n) {
        unsigned long long x = 1;
        long long res = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            x *= i;
            if(x > 1000000) x = x % 1000000;
            while(x % 10 == 0) res++, x /= 10;
        }
        
        return res;
    }
};

利用数学知识推导：

1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4... ∗ n 1*2*3*4...*n 1∗2∗3∗4...∗n 的乘积，能产生末尾0的只有 ( 2 或 2 的倍数 ∗ 5 或 5 的倍数 ) (2或2的倍数 * 5或5的倍数) (2或2的倍数∗5或5的倍数) 可以，所以只需要找到乘积里面有多少对 ( 2 ∗ 5 ) (2*5) (2∗5)，并且 2 的倍数 2的倍数 2的倍数的个数肯定是多于 5 的倍数 5的倍数 5的倍数，所以只需要找乘积里有多少个 5 即可
1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4... ∗ n = 1 ∗ 2 ∗ . . ( 1 ∗ 5 ) . . ( 2 ∗ 5 ) . . ( 3 ∗ 5 ) . . . ( 4..5 ) . . . ( 5 ∗ 5 ) . . . . ( 5 ∗ 5 ∗ 5 ) . . . 1*2*3*4...*n = 1 * 2 *..(1*5)..(2*5)..(3*5)...(4..5)...(5*5)....(5*5*5)... 1∗2∗3∗4...∗n=1∗2∗..(1∗5)..(2∗5)..(3∗5)...(4..5)...(5∗5)....(5∗5∗5)...，像 5 ∗ 5 5*5 5∗5 其实是可以贡献两个5 的（即贡献两个末尾0），所以只需要对 5 的倍数，计算出每个 5 的倍数能贡献几个 5，求出总和，就是末尾0 的个数

时间复杂度： O ( N l o g N ) O(NlogN) O(NlogN)

空间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int trailingZeroes(int n) {
        long long res = 0;
        for(int i = 5; i <= n; i+=5){
            int x = i;
            while(x % 5 == 0) res++, x /= 5;
        }
        
        return res;
    }
};