浅说树及其基本性质（上）

树的定义

在了解树的基本性质之前，我们要先知道什么是树。

首先我们知道树分为有根树 和无根树，有根树指的是有一个固定的根，无根树指的是没有固定的根，任何一个节点都可以为树，我们一般情况下，只分析有根树

树是 n ( n > 1 ) n(n>1) n(n>1)个结点的有限集。当时这棵树没有节点时，称为空树。在任意一棵树非空树中应满足：

(1) 有且仅有一个特定的称为根 ( r o o t ) (root) (root)的结点；

(2) 当 n > 1 n>1 n>1时，其余结点可分为个互不相交的有限集，其中每一个集合本身又是一颗树，并且称为根的子树(SubTree)

树的基本术语

节点的度：节点的度指的是当前节点的子树的个数，而叶子节点就是度为0的节点，但是在无根树中，节点的度指的就是与当前节点相连的节点的个数。
树的度：树内各结点的度的最大值。
孩子结点或子结点：结点的子树的根称为该结点的孩子结点或子结点。
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的双亲结点或父结点。
结点的层次：从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。
树的深度或高度：树中结点的最大层次。
森林：由多棵互不相交的树的集合称为森林

树的存储

树一般情况会用邻接矩阵和邻接表来存储，偶尔会用链式前向星，但是不大常用，我这里就不做详细的讲解了，不会的去看NOI大纲------普及组------图的表示与存储

我们这里普遍使用邻接表

树的遍历

树一般情况下有两种遍历方式，一种是深度优先遍历，一种是广度优先遍历，二者和图论中的遍历其实大差不差

树的深度优先遍历

给出一棵树，假设1号节点为根，依次输出其深度优先遍历到的点。第一行一个正整数n。后面n-1行每行两个正整数u,v，表示u,v之间有一条边相连。

注：因为这是树，所以不用开标记数组，因为只要不走回头路，就不会有重复的

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

vector<int> mp[100010];

void dfs(int x,int fa){
	cout<<x<<" ";
	for (int i=0;i<mp[x].size();i++){//遍历和x有连接的点
		if (mp[x][i]!=fa){//不能走到上一步，也就是不能走回路
			dfs(mp[x][i],x);//遍历下面的节点
		}
	}
	return;
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		mp[u].push_back(v);//邻接表存储
		mp[v].push_back(u);
	}
	dfs(1,0);//从根节点开始遍历
	return 0;
}

树的广度优先遍历

给出一棵树，假设1号节点为根，依次输出其广度优先遍历到的点，第一行一个正整数n。后面n-1行每行两个正整数u,v，表示u,v之间有一条边相连。

这个广度优先遍历就需要开两个队列来存储这个节点和这个节点的父亲（其实用结构体也行）。

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

vector<int> mp[100010];

queue<int> q1,q2;
void bfs(int x,int fa){
	q1.push(x);//存储点
	q2.push(fa);//存储当前点的上一位
	while (!q1.empty()){
		x=q1.front();
		fa=q2.front();
		q1.pop(),q2.pop();
		cout<<x<<" ";
		for (int i=0;i<mp[x].size();i++){//枚举和当前点有关的点
			if (mp[x][i]!=fa){//不能走回路
				q1.push(mp[x][i]);
				q2.push(x);
			}
		}
	}
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		mp[u].push_back(v);//邻接表存储
		mp[v].push_back(u);
	}
	bfs(1,0);
	return 0;
}

树的深度

Q:求有根树的深度，根节点为1，根节点深度为0。

在前面我们已经知道树的深度是什么意思，那么我们就要想了，我们应该如何用c++求得树的深度呢？

其实这是一样的，当我们从当前点到下一个点的时候，树的深度就已经加1了，所以我们直接在进行下一次dfs（bfs）的时候加1就行。

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

vector<int> mp[100010];
int deep[100010],maxn=INT_MIN;
void dfs(int x,int fa){
	maxn=max(maxn,deep[x]);//取得最大值
	for (int i=0;i<mp[x].size();i++){
		if (mp[x][i]!=fa){
			deep[mp[x][i]]=deep[x]+1; //下一个点的深度是当前深度+1
			dfs(mp[x][i],x);
		}
	}
	return;
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		mp[u].push_back(v);
		mp[v].push_back(u);//邻接表存储
	}
	dfs(1,0);
	cout<<maxn;
	return 0;
}

树的度

Q:求无根树的度

先前我们知道，度是一个节点的子树的个数，但是这里是无根树，所以我们就要注意了，这里的度应该指的是与当前节点所连接的节点的数量。

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int maxn=INT_MIN;
int mp[2000010];
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		mp[u]++;
		maxn=max(maxn,mp[u]);
		mp[v]++;
		maxn=max(maxn,mp[v]);
	}
	cout<<maxn;
	return 0;
}

求解树的根

输入森林中的结点关系，统计森林中树的数量，输出树的根。

这里其实有两种做法，第一种比较简单，我们直接将父亲和孩子记为一对( e g : f a t h e r [ i ] = j eg:father[i]=j eg:father[i]=j)，那么当我们检测到一个点的父亲节点为空时，他就一定是根节点。

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,ans;
int a[100010];
vector <int> s;
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
    	int u,v;
    	cin>>u>>v;
    	a[v]=u;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	if(a[i]==0){
    		ans++;
    		s.push_back(i);
    	}
    }
    cout<<ans<<endl;
    for(int i=0;i<s.size();i++){
    	cout<<s[i]<<" ";
    }
    return 0;
}

还有一种做法就是使用类似于并查集的方法，就是疯狂继承自己父亲节点的祖先。

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int fa[110];
int ans[110];
int main(){
	int n,k;
	cin>>n>>k;
	for (int i=0;i<110;i++){
		fa[i]=i;
	}
	for (int i=1;i<=k;i++){
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		fa[v]=fa[u];
	}
	for (int i=1;i<=n;i++){
		fa[i]=fa[fa[i]];
	}	
	sort(fa+1,fa+1+n);
	int num=0;
	for (int i=1;i<=n;i++){
		if (fa[i]!=ans[num]){
			num++;
			ans[num]=fa[i];
		}
	}
	cout<<num<<endl;
	for (int i=1;i<=num;i++){
		cout<<ans[i]<<" ";
	}
	return 0;
}