代码随想录Day 23|回溯Part02，39.组合总和、40.组合总和Ⅱ、131.分割回文串

LluckyYH2024-08-25 20:52

提示：DDU，供自己复习使用。欢迎大家前来讨论~

文章目录

第七章 回溯算法part03

开始补一下

一、题目

题目一： 39. 组合总和

39. 组合总和

解题思路：

本题是可以重复被选取，不会出现0，然后看到下面提示：1 <= candidates[i] <= 200，我就放心了。

直接的想法就是两层for循环，依次输出两个元素。

本题搜索的过程抽象成树形结构如下：

注意图中叶子节点的返回条件，因为本题没有组合数量要求，仅仅是总和的限制，所以递归没有层数的限制，只要选取的元素总和超过target，就返回！

回溯三部曲

排列和组合是不一样的。

本题还需要startIndex来控制for循环的起始位置，对于组合问题，什么时候需要startIndex呢？

如果是一个集合来求组合的话，就需要startIndex，例如77.组合，216.组合总和III 。

如果是多个集合取组合，各个集合之间相互不影响，那么就不用startIndex，例如：17.电话号码的字母组合

  • 递归函数参数
cpp 复制代码 
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex)
  • 递归终止条件

在如下树形结构中：

从叶子节点可以清晰看到，终止只有两种情况，sum大于target和sum等于target。

cpp 复制代码 
if (sum > target) {
    return;
}
if (sum == target) {
    result.push_back(path);
    return;
}
  • 单层搜索的逻辑

单层for循环依然是从startIndex开始，搜索candidates集合。

cpp 复制代码 
for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {
    sum += candidates[i];
    path.push_back(candidates[i]);
    backtracking(candidates, target, sum, i); // 关键点:不用i+1了，表示可以重复读取当前的数
    sum -= candidates[i];   // 回溯
    path.pop_back();        // 回溯
}

完整代码:

cpp 复制代码 
// 版本一
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
        if (sum > target) {
            return;
        }
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
            return;
        }

        for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            backtracking(candidates, target, sum, i); // 不用i+1了，表示可以重复读取当前的数
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        result.clear();
        path.clear();
        backtracking(candidates, target, 0, 0);
        return result;
    }
};

剪枝优化

对总集合排序之后，如果下一层的sum（就是本层的 sum + candidates[i]）已经大于target，就可以结束本轮for循环的遍历。

for循环剪枝代码如下：

cpp 复制代码 
for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++)

整体代码如下：（注意注释的部分）

cpp 复制代码 
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
            return;
        }

        // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
        for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            backtracking(candidates, target, sum, i);
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();

        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        result.clear();
        path.clear();
        sort(candidates.begin(), candidates.end()); // 需要排序
        backtracking(candidates, target, 0, 0);
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度: O(n * 2^n)，注意这只是复杂度的上界，因为剪枝的存在，真实的时间复杂度远小于此
  • 空间复杂度: O(target)

小结：

  • 组合没有数量要求
  • 元素可以无限重复取

在求和问题中，排序之后加剪枝是常见的套路！

题目二：40.组合总和Ⅱ

40. 组合总和 II

解题思路：

所以我们要去重的是同一树层上的"使用过"，同一树枝上的都是一个组合里的元素，不用去重。

强调一下，树层去重的话，需要对数组排序！

下面有used数组的使用：

回溯三部曲

  • 确定递归函数参数

依然需要一维数组path来存放符合条件的结果，二维数组result来存放结果集。

此题还需要加一个bool型数组used，用来记录同一树枝上的元素是否使用过。这个集合去重的重任就是used来完成的。

cpp 复制代码 
vector<vector<int>> result; // 存放组合集合
vector<int> path;           // 符合条件的组合
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex, vector<bool>& used) {
  • 确定终止条件
cpp 复制代码 
if (sum > target) { // 这个条件其实可以省略
    return;
}
if (sum == target) {
    result.push_back(path);
    return;
}
  • 单层搜索过程

如果candidates[i] == candidates[i - 1] 并且 used[i - 1] == false，就说明：前一个树枝，使用了candidates[i - 1]，也就是说同一树层使用过candidates[i - 1]。

在图中将used的变化用橘黄色标注上，可以看出在candidates[i] == candidates[i - 1]相同的情况下：

  • used[i - 1] == true，说明同一树枝candidates[i - 1]使用过
  • used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过

为什么 used[i - 1] == false 就是同一树层呢，因为同一树层，used[i - 1] == false 才能表示，当前取的 candidates[i] 是从 candidates[i - 1] 回溯而来的。

而 used[i - 1] == true，说明是进入下一层递归，去下一个数，所以是树枝上，如图所示：

注意sum + candidates[i] <= target为剪枝操作

回溯三部曲分析完了，整体C++代码如下：

cpp 复制代码 
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex, vector<bool>& used) {
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
            // used[i - 1] == true，说明同一树枝candidates[i - 1]使用过
            // used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过
            // 要对同一树层使用过的元素进行跳过
            if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && used[i - 1] == false) {
                continue;
            }
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            used[i] = true;
            backtracking(candidates, target, sum, i + 1, used); // 和39.组合总和的区别1，这里是i+1，每个数字在每个组合中只能使用一次
            used[i] = false;
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();
        }
    }

public:
    vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
        vector<bool> used(candidates.size(), false);
        path.clear();
        result.clear();
        // 首先把给candidates排序，让其相同的元素都挨在一起。
        sort(candidates.begin(), candidates.end());
        backtracking(candidates, target, 0, 0, used);
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度: O(n * 2^n)
  • 空间复杂度: O(n)

小结：

去重逻辑很关键，涉及到回溯。

题目三： 131.分割回文串

131. 分割回文串

解题思路

本题这涉及到两个关键问题：

  1. 切割问题，有不同的切割方式
  2. 判断回文

例如对于字符串abcdef：

  • 组合问题：选取一个a之后，在bcdef中再去选取第二个，选取b之后在cdef中再选取第三个...。
  • 切割问题：切割一个a之后，在bcdef中再去切割第二段，切割b之后在cdef中再切割第三段...。

所以切割问题，也可以抽象为一棵树形结构，如图：

递归用来纵向遍历，for循环用来横向遍历，切割线（就是图中的红线）切割到字符串的结尾位置，说明找到了一个切割方法。

cpp 复制代码

回溯三部曲

  • 确定回溯函数参数

本题递归函数参数还需要startIndex，因为切割过的地方，不能重复切割，和组合问题也是保持一致的。

cpp 复制代码 
vector<vector<string>> result;
vector<string> path; // 放已经回文的子串
void backtracking (const string& s, int startIndex) {
  • 确定终止条件

从树形结构的图中可以看出：切割线切到了字符串最后面，说明找到了一种切割方法，此时就是本层递归的终止条件。

那么在代码里什么是切割线呢？

在处理组合问题的时候，递归参数需要传入startIndex，表示下一轮递归遍历的起始位置，这个startIndex 就是==切割线==。

cpp 复制代码 
void backtracking (const string& s, int startIndex) {
    // 如果起始位置已经大于s的大小，说明已经找到了一组分割方案了
    if (startIndex >= s.size()) {
        result.push_back(path);
        return;
    }
}
  • 确定单层遍历逻辑

来看看在递归循环中如何截取子串呢？

startIndex, i\] 就是要截取的子串。 首先判断这个子串是不是回文，如果是回文，就加入在`vector path`中，path用来记录切割过的回文子串。 ```cpp for (int i = startIndex; i < s.size(); i++) { if (isPalindrome(s, startIndex, i)) { // 是回文子串 // 获取[startIndex,i]在s中的子串 string str = s.substr(startIndex, i - startIndex + 1); path.push_back(str); } else { // 如果不是则直接跳过 continue; } backtracking(s, i + 1); // 寻找i+1为起始位置的子串 path.pop_back(); // 回溯过程，弹出本次已经添加的子串 } ``` **注意切割过的位置，不能重复切割，所以，backtracking(s, i + 1); 传入下一层的起始位置为i + 1**。 #### 判断回文子串 可以使用==**双指针法**==，一个指针从前向后，一个指针从后向前，如果前后指针所指向的元素是相等的，就是回文字符串了。 ```cpp bool isPalindrome(const string& s, int start, int end) { for (int i = start, j = end; i < j; i++, j--) { if (s[i] != s[j]) { return false; } } return true; } ``` 回溯算法模板： ```cpp void backtracking(参数) { if (终止条件) { 存放结果; return; } for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) { 处理节点; backtracking(路径，选择列表); // 递归 回溯，撤销处理结果 } } ``` 完整C++代码： ```cpp class Solution { private: vector> result; vector path; // 放已经回文的子串 void backtracking (const string& s, int startIndex) { // 如果起始位置已经大于s的大小，说明已经找到了一组分割方案了 if (startIndex >= s.size()) { result.push_back(path); return; } for (int i = startIndex; i < s.size(); i++) { if (isPalindrome(s, startIndex, i)) { // 是回文子串 // 获取[startIndex,i]在s中的子串 string str = s.substr(startIndex, i - startIndex + 1); path.push_back(str); } else { // 不是回文，跳过 continue; } backtracking(s, i + 1); // 寻找i+1为起始位置的子串 path.pop_back(); // 回溯过程，弹出本次已经添加的子串 } } bool isPalindrome(const string& s, int start, int end) { for (int i = start, j = end; i < j; i++, j--) { if (s[i] != s[j]) { return false; } } return true; } public: vector> partition(string s) { result.clear(); path.clear(); backtracking(s, 0); return result; } }; ``` * 时间复杂度: O(n \* 2\^n) * 空间复杂度: O(n\^2) #### 优化 1. **动态规划**：动态规划是一种解决子问题重叠问题的有效方法。在判断回文子串的问题中，可以预先计算出一个字符串的所有子串是否为回文，并存储这些结果。这样，在后续的判断中，可以直接查询这些预先计算的结果，而不需要重新计算。 2. **动态规划的具体实现** ：可以创建一个二维布尔数组`dp[i][j]`，其中`i`和`j`分别表示子串的起始和终止索引。如果`s[i] == s[j]`并且`dp[i + 1][j - 1]`为真（即`s[i + 1]`到`s[j - 1]`的子串是回文），则`dp[i][j]`也为真。这样，对于任意子串，只需要检查一次，并将结果存储在`dp`数组中。 ```cpp class Solution { private: vector> result; vector path; // 放已经回文的子串 vector> isPalindrome; // 放事先计算好的是否回文子串的结果 void backtracking (const string& s, int startIndex) { // 如果起始位置已经大于s的大小，说明已经找到了一组分割方案了 if (startIndex >= s.size()) { result.push_back(path); return; } for (int i = startIndex; i < s.size(); i++) { if (isPalindrome[startIndex][i]) { // 是回文子串 // 获取[startIndex,i]在s中的子串 string str = s.substr(startIndex, i - startIndex + 1); path.push_back(str); } else { // 不是回文，跳过 continue; } backtracking(s, i + 1); // 寻找i+1为起始位置的子串 path.pop_back(); // 回溯过程，弹出本次已经添加的子串 } } void computePalindrome(const string& s) { // isPalindrome[i][j] 代表 s[i:j](双边包括)是否是回文字串 isPalindrome.resize(s.size(), vector(s.size(), false)); // 根据字符串s, 刷新布尔矩阵的大小 for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { // 需要倒序计算, 保证在i行时, i+1行已经计算好了 for (int j = i; j < s.size(); j++) { if (j == i) {isPalindrome[i][j] = true;} else if (j - i == 1) {isPalindrome[i][j] = (s[i] == s[j]);} else {isPalindrome[i][j] = (s[i] == s[j] && isPalindrome[i+1][j-1]);} } } } public: vector> partition(string s) { result.clear(); path.clear(); computePalindrome(s); backtracking(s, 0); return result; } }; ``` 小结： **列出如下几个难点：** * 切割问题可以抽象为组合问题 * 如何模拟那些切割线 * 切割问题中递归如何终止 * 在递归循环中如何截取子串 * 如何判断回文 **总结出来难究竟难在哪里也是一种需要锻炼的能力** *** ** * ** *** ## 总结 * 回溯问题的进阶 * 判断回文串，可以重复选取元素，使用used数组

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