需求背景、限制条件、化简

汉诺塔就是一个由柱子和盘子组成的玩具，它有一些玩法上的限制，主要是规定了盘子移动有限制。

想理解到递归本质，汉诺塔是个不错的载体。

怎么体会?

在盘子移动的过程中。

# 盘子的数量：
#   通常，我们假设有 n 个盘子。盘子在初始时按从大到小的顺序叠放在一个柱子上（源柱子）。
#   这里采用数字表示盘子，数字大小表示盘子大小。

# 柱子数量：
#   总共有三个柱子：源柱子（起始柱子）、目标柱子（最终柱子） 和辅助柱子（中间柱子）。
#   这里用a,b,c list模拟三个柱子
#   规定list只能从末尾取出

# 移动规则：
#   每次只能移动一个盘子。
#   任何时刻盘子只能放在一个柱子上。
#   大的盘子不能放在小的盘子上。

# 目标：
#   将所有的盘子从源柱子移动到目标柱子，且遵守上述规则。

总结：

了解了问题和目标；
将现实问题抽出，化简，采用符号化方式去表达；

模拟盘子的移动步骤

先正常演示一次移动：

n = 1

a = [1]

b = []

c = []

a = []

b = []

c = [1]

n = 2

a = [2,1]

b = []

c = []

(1)

a = [2]

b = [1]

c = []

(2)

a = []

b = [1]

c = [2]

(3)

a = []

b = []

c = [2,1]

n = 3

a = [3,2,1]

b = []

c = [1]

(1)

a = [3,2]

b = []

c = [1]

(2)

a = [3]

b = [2]

c = [1]

(3)

a = [3]

b = [2,1]

c = []

(4)

a = []

b = [2,1]

c = [3]

(5)

a = [1]

b = [2]

c = [3]

(6)

a = [1]

b = []

c = [3,2]

(7)

a = []

b = []

c = [3,2,1]

上面正向的思考，n约大，步骤越多，越来越乱, 抓不住重点。

必须得以反向思维思考：

n = 3

a = [3]

b = [2,1]

c = []

a = []

b = [2,1]

c = [3]

n = 4

a = [4]

b = [3,2,1]

c = []

a = []

b = [3,2,1]

c = [4]

n = 5

a = [5]

b = [4,3,2,1]

c = []

a = []

b = [4,3,2,1]

c = [5]

......

简单的抓到一些固定特征：

不管n是几，都是a到c.
如果n>1，就把n-1的盘子都放到辅助柱子，n 直接去 c。（这个也是划分出来的一个子问题）

递归实现Code

python 复制代码

def hanoi(n: int, a: list, b: list, c: list):
    print("sub State:", a, b, c)
    if n == 1:
        # 基准情况
        c.append(a.pop())
        print("State 1:", a, b, c)
    else:
        # 递归情况
        hanoi(n - 1, a, c, b)

        c.append(a.pop())
        print("State 2:", a, b, c)

        hanoi(n - 1, b, a, c)


a = [3, 2, 1]
b = []
c = []

print("Initial state:", a, b, c)
hanoi(len(a), a, b, c)
print("Final state:", a, b, c)

核心：

在递归调用中，柱子的角色（源、目标、辅助）不断交换。这种角色交换保证了每一步都能正确地完成盘子的移动。

out:

Initial state: [3, 2, 1] [] []
sub State: [3, 2, 1] [] []
sub State: [3, 2, 1] [] []
sub State: [3, 2, 1] [] []
State 1: [3, 2] [] [1]
State 2: [3] [1] [2]
sub State: [1] [3] [2]
State 1: [] [3] [2, 1]
State 2: [] [2, 1] [3]
sub State: [2, 1] [] [3]
sub State: [2, 1] [3] []
State 1: [2] [3] [1]
State 2: [] [1] [3, 2]
sub State: [1] [] [3, 2]
State 1: [] [] [3, 2, 1]
Final state: [] [] [3, 2, 1]

分析

采用可视化方式观察：
https://pythontutor.com/

看完的的一些体会：

函数会嵌套函数, 多个嵌套函数之间一起组成一个整体的函数；
递归通过传递下去的变量，在去回之间的改变，能达到一个很炸裂的效果；
递归的层下沉，一般使用一个int变量控制。

练习 1

你有一个保存员工信息的数据结构，它包含了员工唯一的 id ，重要度和直系下属的 id 。

给定一个员工数组 employees，其中：

employees[i].id 是第 i 个员工的 ID。
employees[i].importance 是第 i 个员工的重要度。
employees[i].subordinates 是第 i 名员工的直接下属的 ID 列表。

给定一个整数 id 表示一个员工的 ID，返回这个员工和他所有下属的重要度的总和。

python 复制代码

# Definition for Employee.
class Employee:
    def __init__(self, id: int, importance: int, subordinates: List[int]):
        self.id = id
        self.importance = importance
        self.subordinates = subordinates

汉诺塔和递归

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递归实现Code

分析

练习 1