蓝桥备赛指南(14):树的直径与重心

树的直径

什么是树的直径?树的直径是树上最长的一条链,当然这条链并不唯一,所以一棵树可能有多条直径。直径由两个顶点u、v来决定,若由一条直径(u,v),则满足一下性质:

1)u、v的度数均为1;

2)在任意一个点为根的树上,u、v必然存在一个点作为最深的叶子节点。深度就是点距离根节点的距离。

如图所示:

树的直径有两种求法:第一种就是"跑两遍dfs";第二种就是树形dp。

由于直径端点u、v必然存在一个是深度最深的点,那么我们可以在以任意节点为根地树上跑一次dfs求所有点的深度,选取深度最大的点(可能有多个,任取一个)就是v。

于是就可以得到两个端点u、v,从而确定树的直径,其长度就是路径上点的个数,也就等于以u为根的树中的dep[v]。

习题:1.卖树 - 蓝桥云课

代码:

cpp 复制代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll = long long;
const int N = 1e5 + 9;
vector<int>g[N];

int dep1[N], depu[N], depv[N];

void dfs(int x, int fa, int dep[]) {
	dep[x] = dep[fa] + 1;
	for (const auto& y : g[x]) {
		if (y == fa)continue;
		dfs(y, x, dep);
	}
}

void solve() {
	ll n, k, c; cin >> n >> k >> c;
	for (int i = 1; i < n; ++i) {
		int u, v; cin >> u >> v;
		g[u].push_back(v), g[v].push_back(u);
	}
	dep1[0] = depu[0] = depv[0] = -1;
	dfs(1, 0, dep1);
	int u = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) if (dep1[i] > dep1[u]) u = 1;
	dfs(u, 0, depu);
	int v = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) if (depu[i] > depu[v])v = i;
	dfs(v, 0, depv);

	ll ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		ans = max(ans, max(depu[i], depv[i]) * k - dep1[i] * c);
	}
	cout << ans << endl;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) g[i].clear();
}

int main() {
	int t; cin >> t;
	while (t--) {
		solve();
	}
	return 0;
}

树的重心

树的重心是指某个点,将其删除后,可以使得剩余联通块的大小大的点。

也就等价于以某个点为根的树,将根删除后,剩余的若干颗子树的大小最小。

性质:

性质一

重心的若干颗子树的大小一定<=n;

除了重心以外的所有其他点,都必然存在一颗节点个数>n的子树。

性质二

一棵树至多有两颗重心,如果存在两个重心,则必然相邻;

将连接两个重心的边擦除后,一定划分为两颗大小相等的树;

性质三

树种所有点到某个点的距离和中,到重心的距离和是最小的;

如果有两个重心,那么它们的距离和一样。反过来,距离和最小的点一定是重心。

最后,树的重心问题可以处理一些最优化、最小化问题。

如何求解树的重心???

模板:

cpp 复制代码
void dif(int x, int y) {
	f[x] = 1, m[x] = 0;
	for (const auto& z : g[x]) {
		if (z == y) continue;
		dif(z, x);
		f[x] += f[z];
		m[x] = max(m[x], f[x]);
	}
	m[x] = max(m[x], n - f[x]);
	if (m[x] <= n / 2) v.push_back(x);
}
相关推荐
爱装代码的小瓶子2 小时前
数据结构之队列(C语言)
c语言·开发语言·数据结构
爱喝矿泉水的猛男3 小时前
非定长滑动窗口(持续更新)
算法·leetcode·职场和发展
YuTaoShao3 小时前
【LeetCode 热题 100】131. 分割回文串——回溯
java·算法·leetcode·深度优先
YouQian7723 小时前
Traffic Lights set的使用
算法
快乐飒男4 小时前
哈希表(c语言)
c语言·哈希算法·散列表
go54631584655 小时前
基于深度学习的食管癌右喉返神经旁淋巴结预测系统研究
图像处理·人工智能·深度学习·神经网络·算法
QQ_4376643145 小时前
C++11 右值引用 Lambda 表达式
java·开发语言·c++
aramae5 小时前
大话数据结构之<队列>
c语言·开发语言·数据结构·算法
大锦终5 小时前
【算法】前缀和经典例题
算法·leetcode
想变成树袋熊5 小时前
【自用】NLP算法面经(6)
人工智能·算法·自然语言处理