蓝桥备赛指南（14）：树的直径与重心

树的直径

什么是树的直径？树的直径是树上最长的一条链，当然这条链并不唯一，所以一棵树可能有多条直径。直径由两个顶点u、v来决定，若由一条直径（u,v)，则满足一下性质：

1）u、v的度数均为1；

2）在任意一个点为根的树上，u、v必然存在一个点作为最深的叶子节点。深度就是点距离根节点的距离。

如图所示：

树的直径有两种求法：第一种就是"跑两遍dfs";第二种就是树形dp。

由于直径端点u、v必然存在一个是深度最深的点，那么我们可以在以任意节点为根地树上跑一次dfs求所有点的深度，选取深度最大的点（可能有多个，任取一个）就是v。

于是就可以得到两个端点u、v，从而确定树的直径，其长度就是路径上点的个数，也就等于以u为根的树中的dep[v]。

习题：1.卖树 - 蓝桥云课

代码：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll = long long;
const int N = 1e5 + 9;
vector<int>g[N];

int dep1[N], depu[N], depv[N];

void dfs(int x, int fa, int dep[]) {
	dep[x] = dep[fa] + 1;
	for (const auto& y : g[x]) {
		if (y == fa)continue;
		dfs(y, x, dep);
	}
}

void solve() {
	ll n, k, c; cin >> n >> k >> c;
	for (int i = 1; i < n; ++i) {
		int u, v; cin >> u >> v;
		g[u].push_back(v), g[v].push_back(u);
	}
	dep1[0] = depu[0] = depv[0] = -1;
	dfs(1, 0, dep1);
	int u = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) if (dep1[i] > dep1[u]) u = 1;
	dfs(u, 0, depu);
	int v = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) if (depu[i] > depu[v])v = i;
	dfs(v, 0, depv);

	ll ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		ans = max(ans, max(depu[i], depv[i]) * k - dep1[i] * c);
	}
	cout << ans << endl;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) g[i].clear();
}

int main() {
	int t; cin >> t;
	while (t--) {
		solve();
	}
	return 0;
}

树的重心

树的重心是指某个点，将其删除后，可以使得剩余联通块的大小大的点。

也就等价于以某个点为根的树，将根删除后，剩余的若干颗子树的大小最小。

性质：

性质一

重心的若干颗子树的大小一定<=n;

除了重心以外的所有其他点，都必然存在一颗节点个数>n的子树。

性质二

一棵树至多有两颗重心，如果存在两个重心，则必然相邻；

将连接两个重心的边擦除后，一定划分为两颗大小相等的树；

性质三

树种所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；

如果有两个重心，那么它们的距离和一样。反过来，距离和最小的点一定是重心。

最后，树的重心问题可以处理一些最优化、最小化问题。

如何求解树的重心？？？

模板：

cpp 复制代码

void dif(int x, int y) {
	f[x] = 1, m[x] = 0;
	for (const auto& z : g[x]) {
		if (z == y) continue;
		dif(z, x);
		f[x] += f[z];
		m[x] = max(m[x], f[x]);
	}
	m[x] = max(m[x], n - f[x]);
	if (m[x] <= n / 2) v.push_back(x);
}