前缀和&差分【算法 13】

在算法领域中，前缀和与差分数组是两种高效处理区间问题的技术。它们能在特定问题场景下将时间复杂度从 (O(n)) 降到 (O(1))，适用于频繁的区间查询与修改操作。本文将简要介绍这两种技术及其应用。

1. 前缀和 (Prefix Sum)

前缀和是指一个数组的第 (i) 个前缀和为原数组前 (i) 个元素之和。通过构建前缀和数组，我们可以高效地进行区间求和。

前缀和公式：

设原数组为 (A)，前缀和数组为 (P)，那么：
P [ i ] = A [ 1 ] + A [ 2 ] + . . . + A [ i ] P[i] = A[1] + A[2] + ... + A[i] P[i]=A[1]+A[2]+...+A[i]

利用前缀和，可以快速计算任意区间 ([l, r]) 的和：
sum ( l , r ) = P [ r ] − P [ l − 1 ] \text{sum}(l, r) = P[r] - P[l-1] sum(l,r)=P[r]−P[l−1]

这种方法将单次区间求和的时间复杂度从 (O(n)) 降到 (O(1))，而构建前缀和数组的时间复杂度为 (O(n))。

示例代码：

c 复制代码

void buildPrefixSum(int A[], int P[], int n) {
    P[0] = A[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        P[i] = P[i-1] + A[i];
    }
}

int querySum(int P[], int l, int r) {
    return l == 0 ? P[r] : P[r] - P[l-1];
}

应用场景：

频繁的区间和查询，例如在区间内求和、计算连续子数组的和等。

2. 差分数组 (Difference Array)

差分数组是一种高效处理区间修改的工具。差分数组的核心思想是记录变化，而不是直接修改原数组。通过构造一个差分数组，可以在 (O(1)) 时间内对原数组的一个区间进行增量更新。

差分数组公式：

设原数组为 (A)，差分数组为 (D)，那么：
D [ i ] = A [ i ] − A [ i − 1 ] D[i] = A[i] - A[i-1] D[i]=A[i]−A[i−1]

通过差分数组，我们可以对区间 ([l, r]) 进行增量修改，假设增加值为 (x)，则：
D [ l ] + = x D[l] += x D[l]+=x

D [ r + 1 ] − = x D[r+1] -= x D[r+1]−=x

最后，通过构建最终的数组，我们可以恢复修改后的原数组。

示例代码：

c 复制代码

void buildDifferenceArray(int A[], int D[], int n) {
    D[0] = A[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        D[i] = A[i] - A[i-1];
    }
}

void updateRange(int D[], int l, int r, int x) {
    D[l] += x;
    if (r + 1 < n) {
        D[r + 1] -= x;
    }
}

void applyDifferenceArray(int A[], int D[], int n) {
    A[0] = D[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        A[i] = A[i-1] + D[i];
    }
}

应用场景：

大量的区间修改操作，例如在区间内对所有元素增加一个固定值、或区间内累加值的变化。

3. 综合运用

在实际问题中，前缀和与差分数组可以结合使用。例如，差分数组用于快速区间修改，前缀和用于快速区间查询。两者的结合可以高效解决大量的区间操作问题。

总结

前缀和 适合频繁的区间查询，其核心在于通过预处理将区间求和问题简化为常数时间查询。
差分数组 适合频繁的区间修改，其核心在于记录变化，而不是直接修改原数组。

通过灵活使用这两种工具，我们可以高效地处理许多涉及区间的算法问题。