数学基础 -- 线性代数之正交矩阵

正交矩阵

正交矩阵是线性代数中的一个重要概念,具有许多优良的性质,在数值计算、线性变换、信号处理等领域有着广泛的应用。

1. 正交矩阵的定义

一个 n × n n \times n n×n 的方阵 Q Q Q 如果满足以下条件:

Q T Q = Q Q T = I Q^T Q = Q Q^T = I QTQ=QQT=I

其中, Q T Q^T QT 是矩阵 Q Q Q 的转置矩阵, I I I 是 n × n n \times n n×n 的单位矩阵,则称矩阵 Q Q Q 是正交矩阵。

换句话说,正交矩阵的行向量(或列向量)是标准正交基,即:

  • 各行向量(或列向量)的长度为1(标准化)。
  • 不同行向量(或列向量)之间是两两正交的,即它们的内积为零。

2. 正交矩阵的性质

2.1 保持内积和长度

正交矩阵在进行线性变换时,不改变向量的内积和长度。即向量 v \mathbf{v} v 通过正交矩阵 Q Q Q 变换后,变换后的向量 Q v Q\mathbf{v} Qv 的长度与原向量相同。

2.2 逆矩阵等于转置矩阵

正交矩阵的逆矩阵与它的转置矩阵相同,即:

Q − 1 = Q T Q^{-1} = Q^T Q−1=QT

2.3 保持正交性

正交矩阵乘以另一个正交矩阵,结果仍然是正交矩阵。如果 Q 1 Q_1 Q1 和 Q 2 Q_2 Q2 都是正交矩阵,那么 Q 1 Q 2 Q_1 Q_2 Q1Q2 也是正交矩阵。

2.4 行列式的绝对值为1

正交矩阵的行列式为 ± 1 \pm 1 ±1:

∣ det ( Q ) ∣ = 1 |\text{det}(Q)| = 1 ∣det(Q)∣=1

3. 正交矩阵的应用

3.1 旋转与反射变换

在几何中,正交矩阵常用于表示旋转和反射变换。例如,在二维空间中,一个旋转矩阵可以表示为:

Q = ( cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) Q = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} Q=(cosθsinθ−sinθcosθ)

3.2 QR分解

正交矩阵在QR分解中扮演重要角色。QR分解将矩阵 A A A 分解为一个正交矩阵 Q Q Q 和一个上三角矩阵 R R R 的乘积,即 A = Q R A = QR A=QR。

3.3 信号处理与数据压缩

在信号处理和数据压缩中,正交矩阵用于构造正交基,比如傅里叶变换矩阵和小波变换矩阵。


正交矩阵的例子

例子1:二维旋转矩阵

考虑一个二维旋转矩阵,它表示在平面上旋转一个向量的变换。假设旋转角度为 θ \theta θ,则旋转矩阵可以表示为:

Q = ( cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) Q = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} Q=(cosθsinθ−sinθcosθ)

正交性验证

我们验证这个矩阵是否为正交矩阵。正交矩阵的定义要求 Q T Q = I Q^T Q = I QTQ=I,我们计算 Q T Q^T QT 和 Q T Q Q^T Q QTQ:

首先,求 Q Q Q 的转置矩阵 Q T Q^T QT:

Q T = ( cos ⁡ θ sin ⁡ θ − sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) Q^T = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} QT=(cosθ−sinθsinθcosθ)

接下来,计算 Q T Q Q^T Q QTQ:

Q T Q = ( cos ⁡ 2 θ + sin ⁡ 2 θ 0 0 cos ⁡ 2 θ + sin ⁡ 2 θ ) = ( 1 0 0 1 ) = I Q^T Q = \begin{pmatrix} \cos^2 \theta + \sin^2 \theta & 0 \\ 0 & \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I QTQ=(cos2θ+sin2θ00cos2θ+sin2θ)=(1001)=I

因此, Q Q Q 是一个正交矩阵。

性质

  • 保持向量长度 :向量经过矩阵 Q Q Q 的旋转变换后,长度不变。
  • 逆矩阵为转置矩阵 :由于 Q T Q = I Q^T Q = I QTQ=I,我们有 Q − 1 = Q T Q^{-1} = Q^T Q−1=QT。

例子2:三维反射矩阵

考虑一个三维反射矩阵,它表示相对于某一平面的反射。假设我们要相对于 x x x- y y y 平面进行反射,则反射矩阵可以表示为:

Q = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 − 1 ) Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} Q= 10001000−1

正交性验证

同样地,我们验证这个矩阵是否为正交矩阵。计算 Q T Q^T QT 和 Q T Q Q^T Q QTQ:

转置矩阵 Q T Q^T QT 为:

Q T = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 − 1 ) Q^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} QT= 10001000−1

计算 Q T Q Q^T Q QTQ:

Q T Q = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) = I Q^T Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I QTQ= 100010001 =I

因此, Q Q Q 是一个正交矩阵。

性质

  • 保持向量长度 :向量经过矩阵 Q Q Q 的反射变换后,长度不变。
  • 逆矩阵为转置矩阵 : Q − 1 = Q T Q^{-1} = Q^T Q−1=QT。

QR分解的例子

例子:QR分解

我们选择一个简单的 2 × 2 2 \times 2 2×2 矩阵 A A A 进行QR分解。假设矩阵 A A A 为:

A = ( 1 1 1 − 1 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} A=(111−1)

步骤 1:构造矩阵 Q Q Q

通过 Gram-Schmidt 正交化过程 构造正交矩阵 Q Q Q:

  1. 取矩阵 A A A 的第一列 a 1 \mathbf{a}_1 a1 作为向量 u 1 \mathbf{u}_1 u1:

    u 1 = ( 1 1 ) \mathbf{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} u1=(11)

    归一化 u 1 \mathbf{u}_1 u1 得到 q 1 \mathbf{q}_1 q1:

    q 1 = u 1 ∥ u 1 ∥ = 1 2 ( 1 1 ) = ( 1 2 1 2 ) \mathbf{q}_1 = \frac{\mathbf{u}_1}{\|\mathbf{u}_1\|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} q1=∥u1∥u1=2 1(11)=(2 12 1)

  2. 计算矩阵 A A A 的第二列 a 2 \mathbf{a}_2 a2 在 q 1 \mathbf{q}_1 q1 上的投影,并减去这部分,得到 u 2 \mathbf{u}_2 u2:

    u 2 = a 2 − ( q 1 T a 2 ) q 1 = ( 1 − 1 ) \mathbf{u}_2 = \mathbf{a}_2 - (\mathbf{q}_1^T \mathbf{a}_2) \mathbf{q}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} u2=a2−(q1Ta2)q1=(1−1)

    归一化 u 2 \mathbf{u}_2 u2 得到 q 2 \mathbf{q}_2 q2:

    q 2 = u 2 ∥ u 2 ∥ = 1 2 ( 1 − 1 ) = ( 1 2 − 1 2 ) \mathbf{q}_2 = \frac{\mathbf{u}_2}{\|\mathbf{u}_2\|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} q2=∥u2∥u2=2 1(1−1)=(2 1−2 1)

最终得到正交矩阵 Q Q Q 为:

Q = ( 1 2 1 2 1 2 − 1 2 ) Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} Q=(2 12 12 1−2 1)

步骤 2:计算矩阵 R R R

矩阵 R R R 是通过计算 Q T A Q^T A QTA 得到的:

R = Q T A = ( 2 0 0 2 ) R = Q^T A = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix} R=QTA=(2 002 )

最终结果

通过QR分解,我们将矩阵 A A A 分解为正交矩阵 Q Q Q 和上三角矩阵 R R R 的乘积:

A = Q R = ( 1 2 1 2 1 2 − 1 2 ) ( 2 0 0 2 ) = ( 1 1 1 − 1 ) A = QR = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} A=QR=(2 12 12 1−2 1)(2 002 )=(111−1)

验证分解结果正确,QR分解成功。

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