数学基础 -- 线性代数之向量空间

向量空间与基变换

1. 向量空间的定义

向量空间（Vector Space）是指一组具有向量加法和数乘运算的元素的集合，并且这些运算满足以下公理：

加法封闭性 ：对于任意两个向量 u u u 和 v v v，它们的和 u + v u + v u+v 也在该向量空间中。
加法交换律 ：对于任意两个向量 u u u 和 v v v，有 u + v = v + u u + v = v + u u+v=v+u。
加法结合律 ：对于任意三个向量 u u u、 v v v 和 w w w，有 ( u + v ) + w = u + ( v + w ) (u + v) + w = u + (v + w) (u+v)+w=u+(v+w)。
存在零向量 ：存在一个零向量 0 0 0，使得对于任意向量 v v v，有 v + 0 = v v + 0 = v v+0=v。
存在加法逆元 ：对于每个向量 v v v，存在一个向量 − v -v −v，使得 v + ( − v ) = 0 v + (-v) = 0 v+(−v)=0。
数乘封闭性 ：对于任意标量 a a a 和任意向量 v v v，数乘 a v av av 也在该向量空间中。
数乘分配律 ：
- 对于标量 a a a、 b b b 和向量 v v v，有 ( a + b ) v = a v + b v (a + b)v = av + bv (a+b)v=av+bv。
- 对于标量 a a a 和向量 u u u、 v v v，有 a ( u + v ) = a u + a v a(u + v) = au + av a(u+v)=au+av。
数乘结合律 ：对于标量 a a a、 b b b 和向量 v v v，有 ( a b ) v = a ( b v ) (ab)v = a(bv) (ab)v=a(bv)。
数乘的单位元 ：存在一个标量 1，使得对于任意向量 v v v，有 1 v = v 1v = v 1v=v。

2. 零向量的定义

零向量是向量空间中的一个特殊元素，满足以下条件：

对于任意向量 v v v，有 v + 0 = v v + 0 = v v+0=v。
零向量在向量空间中是唯一的。假设有两个零向量 0 1 0_1 01 和 0 2 0_2 02，那么 0 1 = 0 2 0_1 = 0_2 01=02。

3. 子空间的定义

子空间（Subspace）是向量空间中的一个子集，这个子集本身也是一个向量空间。子空间必须满足以下条件：

包含零向量：子空间必须包含原向量空间的零向量。
封闭性 ：对于子空间中的任意两个向量 u u u 和 v v v，它们的和 u + v u + v u+v 仍然在子空间中。
数乘封闭性 ：对于子空间中的任意向量 v v v 和任意标量 a a a，数乘 a v av av 仍然在子空间中。

4. 基和维数

4.1 基的定义

一个向量空间 V V V 的基是指一个向量组 { v 1 , v 2 , ... , v n } \{v_1, v_2, \dots, v_n\} {v1,v2,...,vn}，满足以下条件：

线性无关性：基中的向量彼此线性无关。
张成空间：基中的向量可以通过线性组合生成整个向量空间。

4.2 维数的定义

向量空间的维数是基向量的数量，表示的是向量空间的大小或自由度。

4.3 例子说明

二维向量空间 R 2 \mathbb{R}^2 R2 ：标准基为 { ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) } \{(1, 0), (0, 1)\} {(1,0),(0,1)}，维数为 2。
三维向量空间 R 3 \mathbb{R}^3 R3 ：标准基为 { ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) } \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\} {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}，维数为 3。
多项式空间 P 2 P_2 P2 ：基为 { 1 , x , x 2 } \{1, x, x^2\} {1,x,x2}，维数为 3。

5. 基变换

5.1 基变换的定义

基变换是指将向量在一个基下的表示转换为另一个基下的表示。设有两个基 B 1 B_1 B1 和 B 2 B_2 B2，基变换的公式为：

$x$ B 2 = P ⋅ $x$ B 1 $x$ {B_2} = P \cdot $x$ {B_1} $x$ B2=P⋅ $x$ B1

其中， P P P 是基变换矩阵。

5.2 基变换矩阵的构造

基变换矩阵 P P P 的构造方法如下：

将基 B 2 B_2 B2 中的每个基向量用基 B 1 B_1 B1 中的向量表示，得到 $w j$ B 1 $w_j$ _{B_1} $wj$ B1。
基变换矩阵 P P P 由这些表示向量作为列向量构成。

5.3 基变换对几何量的影响

基变换不会改变向量、面积、体积等几何量本身的值。基变换矩阵的行列式 det ⁡ ( P ) \det(P) det(P) 可以用来衡量线性变换时的缩放因子。

若 P P P 是正交矩阵，则基变换不会改变长度、面积、体积。
若 det ⁡ ( P ) = 1 \det(P) = 1 det(P)=1 或 − 1 -1 −1，则基变换不会改变面积或体积的大小。

5.4 例子说明

例子 1：正交基变换

基 B 1 = { ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) } B_1 = \{(1, 0), (0, 1)\} B1={(1,0),(0,1)}，基 B 2 = { ( 1 2 , 1 2 ) , ( − 1 2 , 1 2 ) } B_2 = \{(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})\} B2={(2 1,2 1),(−2 1,2 1)}。基变换矩阵为正交矩阵，行列式为 1，不改变几何量。

例子 2：非正交基变换

基 B 1 = { ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) } B_1 = \{(1, 0), (0, 1)\} B1={(1,0),(0,1)}，基 B 2 = { ( 2 , 0 ) , ( 0 , 3 ) } B_2 = \{(2, 0), (0, 3)\} B2={(2,0),(0,3)}。基变换矩阵 P P P 的行列式为 6，表示面积被放大了 6 倍。