线性代数|机器学习-P34神经网络和学习函数

文章目录

• [1. 神经网络](#1. 神经网络)
• [2. 损失函数](#2. 损失函数)
• [3. 距离矩阵](#3. 距离矩阵)

1. 神经网络

构建一个神经网络步骤如下：

• 1. 构建一个神经网络
• 2. 构造一个学习函数 F ( x , v ) F(x,v) F(x,v),x代表权重 A k , b k A_k,b_k Ak,bk，v代表样本特征向量,ReLu激活函数
     v 1 = R e L u [ F ( A 1 , b 1 , v 0 ) ] → v 1 = R e L u [ A 1 v 0 + b 1 ] \begin{equation} v_1=\mathrm{ReLu}[F(A_1,b_1,v_0)]\to v_1=\mathrm{ReLu}[A_1v_0+b_1]\ \end{equation} v1=ReLu[F(A1,b1,v0)]→v1=ReLu[A1v0+b1]
• 3. 不断循环迭代上诉公式，构建神经网络
     v k = R e L u [ A k v k − 1 + b k ] \begin{equation} v_{k}=\mathrm{ReLu}[A_{k}v_{k-1}+b_{k}]\ \end{equation} vk=ReLu[Akvk−1+bk]
• 神经网络图如下：
  

2. 损失函数

神经网络损失函数如下：
L ( x ) = { 1 N ∑ i = 1 N [ F ( x , x i ) − t r u e i ] 2 } \begin{equation} L(x)=\{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N[F(x,x_i)-true_i]^2\} \end{equation} L(x)={N1i=1∑N[F(x,xi)−truei]2}

• 常见的损失函数如下：
  -- 最小平方损失函数
  -- L1范数损失函数
  -- 交叉熵损失函数
  -- Hinge损失函数

3. 距离矩阵

假设我们有两个点 x i , x j x_i,x_j xi,xj，用D表示点之间的距离如下：
d i j = ∣ ∣ x i − x j ∣ ∣ 2 2 \begin{equation} d_{ij}=||x_i-x_j||_2^2 \end{equation} dij=∣∣xi−xj∣∣22

• 距离向量化分解：
  d i j = ∣ ∣ x i − x j ∣ ∣ 2 = ( x i − x j ) T ( x i − x j ) = x i T x i − x i T x j − x j T x i + x j T x j \begin{equation} d_{ij}=||x_i-x_j||^2=(x_i-x_j)^T(x_i-x_j)=x_i^Tx_i-x_i^Tx_j-x_j^Tx_i+x_j^Tx_j \end{equation} dij=∣∣xi−xj∣∣2=(xi−xj)T(xi−xj)=xiTxi−xiTxj−xjTxi+xjTxj